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Vidéo de question : Déterminer le point d’intersection de trois plans Mathématiques

Déterminez le point d’intersection des plans d’équations (4𝑥/7) - (𝑦/7) + (2𝑧/7) = 1, 𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 - 16 = 0 et 2𝑥 + 3𝑦 - 4𝑧 - 9 = 0.

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Transcription de vidéo

Déterminer les coordonnées diu point d’intersection des plans quatre 𝑥 sur sept moins 𝑦 sur sept plus deux 𝑧 sur sept est égal à un, 𝑥 plus trois 𝑦 plus cinq 𝑧 moins 16 est égal à zéro et deux 𝑥 plus trois 𝑦 moins quatre 𝑧 moins neuf est égal à zéro.

On nous demande de trouver le point d’intersection de trois plans. Et comme les plans se rencontrent en un seul point, cela signifie que le point d’intersection est l’unique solution d’un système de trois équations, c’est-à-dire du système formé par les équations des trois plans. Il existe plusieurs méthodes que nous pourrions utiliser pour résoudre ce problème. Nous allons utiliser ici la règle de Cramer, nous devrons donc réécrire les trois équations sous une forme que nous pourrons convertir en une équation matricielle. En nommant nos équations un, deux et trois, si nous multiplions les deux membres de l’équation un par sept, nous avons que quatre 𝑥 moins 𝑦 plus deux 𝑧 est égal à sept. Et maintenant, ajouter 16 aux deux membres de l’équation deux nous donne 𝑥 plus trois 𝑦 plus cinq 𝑧 est égale 16. Et enfin, en ajoutant neuf aux deux membres de l’équation trois, nous obtenons que deux 𝑥 plus trois 𝑦 moins quatre 𝑧 est égal à neuf.

Nous pouvons alors réécrire ce système d’équations sous forme matricielle comme indiqué. Les éléments de la matrice sont les coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de chacune de nos trois équations. Ceci est multiplié par notre vecteur de variables d’éléments 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Et sur le côté droit, nous avons la matrice dont les éléments sont les constantes présentes dans les membres de droite de nos équations.

Maintenant, après que nous aurons fait de la place pour nos calculs, nous allons utiliser la règle de Cramer. Elle nous dit que 𝑥 égale Δ 𝑥 sur Δ, 𝑦 égale Δ 𝑦 sur Δ, et 𝑧 égale Δ 𝑧 sur Δ est l’unique solution du système d’équations 𝐴𝑋 est égal à 𝐵, où Δ est le déterminant non nul de la matrice 𝐴. Et Δ 𝑥 est le déterminant de la matrice formée en remplaçant la première colonne de 𝐴 par le vecteur 𝐵. C’est à dire la matrice des constantes. De même pour Δ 𝑦, nous remplaçons la colonne centrale par le vecteur 𝐵. Et de même pour Δ 𝑧, nous remplaçons la troisième colonne par le vecteur 𝐵. Il convient de souligner que les trois plans se croiseront en un seul point si et seulement si Δ qui est le déterminant de la matrice 𝐴, est différent de zéro. Et cela revient à dire qu’il existe une solution unique au système d’équations.

Bon, commençons par trouver le déterminant de notre matrice de coefficients 𝐴 à savoir, Δ. En développant par rapport à notre première ligne, nous avons quatre fois le déterminant de la matrice avec les éléments trois, cinq, trois, moins quatre moins moins un fois le déterminant de la matrice deux deux avec les éléments un, cinq, deux, moins quatre plus deux fois le déterminant de la matrice deux deux avec les éléments un, trois, deux, trois, en faisant bien attention aux signes de nos cofacteurs. C’est à dire positif, négatif et positif. Et en prenant nos déterminants deux par deux, rappelez-vous que c’est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐, nous avons quatre multiplié par trois fois moins quatre moins cinq fois trois plus un fois moins quatre moins cinq fois deux plus deux fois un fois trois moins trois fois deux.

À l’intérieur de nos crochets, nous avons alors moins 12 moins 15, moins quatre moins 10 et trois moins six. Cela donne quatre fois moins 27 moins 14 moins six. Donc Δ, qui est le déterminant de la matrice 𝐴, est égal à moins 128. Puisque ce déterminant est non nul, nous avons confirmé que les trois plans se croisent en un seul point.

Alors maintenant, en faisant de la place et en notant la valeur de Δ, nous pouvons nous concentrer sur Δ 𝑥, Δ 𝑦 et Δ 𝑧. Et rappelez-vous que pour calculer Δ 𝑥, nous remplaçons les éléments de la première colonne par ceux de 𝐵. Ainsi, la première colonne de notre déterminant comporte maintenant les éléments sept, 16, neuf, et nous allons à nouveau développer cela par rapport à la première ligne en faisant attention aux signes. En développant nos déterminants deux par deux, nous avons sept multiplié par moins 12 moins 15 plus moins 64 moins 45 plus deux fois 48 moins 27. Et cela équivaut à moins 189 moins 109 plus 42. Et c’est égal à moins 256. Et donc nous avons Δ 𝑥 est égal à moins 256. Et en notant cela et en faisant un peu de place, nous pouvons maintenant calculer Δ 𝑦.

Cette fois nous remplaçons la deuxième colonne par les éléments de 𝐵. Et encore une fois, en développant par rapport à la première ligne et en calculant nos déterminants deux par deux, cela nous donne quatre fois moins 109 moins sept fois moins 14 plus deux fois moins 23. C’est moins 436 plus 98 moins 46, ce qui donne moins 384. Autrement dit, Δ 𝑦 est égal à moins 384. Maintenant, en faisant un peu plus de place, nous pouvons enfin calculer Δ 𝑧 et cette fois nous remplaçons la troisième colonne de notre déterminant par les éléments de 𝐵. Et donc, en développant à nouveau par rapport à la première ligne, nos déterminant deux deux nous donnent moins 21, moins 23 et moins trois, et donc Δ 𝑧 vaut moins 128.

Alors maintenant, en notant cela et en faisant de l’espace, nous pouvons enfin déterminer les coordonnées de notre point d’intersection. C’est 𝑥, 𝑦 et 𝑧. En commençant par 𝑥, c’est Δ 𝑥 sur Δ, nous avons donc moins 256 sur moins 128, et cela donne deux. Notre abscisse est donc deux. Ensuite, pour notre ordonnée 𝑦, c’est Δ 𝑦 sur Δ, qui est moins 384 divisé par moins 128, et cela donne trois. Et donc notre ordonnée 𝑦 est trois. Et enfin, notre troisième coordonnée 𝑧 est Δ 𝑧 sur Δ, et c’est moins 128 sur moins 128, ce qui bien sûr est égal à un. Ainsi 𝑧 est égal à un.

Par conséquent, le point d’intersection des trois plans est le point de coordonnées 𝑥 égale deux, 𝑦 égale trois et 𝑧 égale un.

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