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Vidéo de question : Comprendre la règle du produit Mathématiques

On pose 𝑔(𝑥) = −3(𝑥) [ℎ (𝑥) - 1] avec 𝑓′(- 4) = −1, ℎ′(- 4) = −9, ℎ(−4) = −6 et 𝑓(−4) = −1. Déterminez 𝑔′(- 4).

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Transcription de vidéo

On pose 𝑔 de 𝑥 égale moins trois 𝑓 de 𝑥 multiplié par ℎ de 𝑥 moins un. Si la dérivée première de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est moins quatre est égale à moins un, si la dérivée première de ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 égal moins quatre est égale à moins neuf, et ℎ de moins quatre est égale à moins six et 𝑓 de moins quatre est égal à moins un, trouvez la dérivée de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à moins quatre.

Donc, lorsque nous examinons cette question pour la première fois, cela semble assez compliqué car nous avons beaucoup de fonctions différentes. Mais elle est bien là la clé de la solution. Nous avons beaucoup de fonctions différentes. Donc, si nous regardons 𝑔 de 𝑥, elle est égale à moins trois 𝑓 de 𝑥 multiplié par ℎ de 𝑥 moins un. Nous avons une fonction multipliée par une autre fonction. Donc, nous pouvons donc utiliser la règle du produit.

Ce que la règle du produit nous dit, c’est que si nous avons 𝑦 égal à 𝑢𝑣, donc deux choses multipliées ensemble, alors la dérivée de 𝑦 va être égale à 𝑢 d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 d𝑢 sur d𝑥. Donc, c’est 𝑢 multiplié par la dérivée de 𝑣 et 𝑣 multiplié par la dérivée de 𝑢. Donc, si nous regardons ce que nous avons, nous allons appeler moins trois 𝑓 de 𝑥 𝑢 et ℎ de 𝑥 moins un 𝑣.

Si nous les mettons dans notre règle du produit, nous aurons donc moins trois 𝑓 de 𝑥, et c’est parce que c’est notre 𝑢, multiplié par la dérivée de ℎ de 𝑥 moins un. Eh bien, la dérivée de ℎ de 𝑥 moins un va juste être la dérivée de ℎ de 𝑥. Et c’est parce que si vous dérivez moins un, il deviendra tout simplement zéro. Alors ensuite nous allons ajouter à cela ℎ de 𝑥 moins un parce que c’est notre 𝑣. Et puis cela va être multiplié par moins trois fois la dérivée de 𝑓 de 𝑥. Nous obtenons cela parce que c’est la dérivée de 𝑢. Et si nous avons la constante moins trois, cela n’affecte pas notre dérivation. Donc, nous faisons juste moins trois multiplié par la dérivée de 𝑓 de 𝑥.

Eh bien, nous avons fait cela. Mais en quoi cela aide ? Alors, en quoi cela aide ? Eh bien, cela aide parce que nous essayons de trouver la dérivée de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à moins quatre. Et, par conséquent, la question nous a donné de nombreuses valeurs que nous pouvons remplacer. Donc, je l’ai maintenant réécrite avec moins quatre au lieu de 𝑥. Et comme je l’ai dit, nous avons des valeurs dans la donnée que nous pouvons utiliser maintenant.

Tout d’abord, nous avons 𝑓 de moins quatre égale à moins un. Donc, si nous utilisons cela, nous allons avoir moins trois multiplié par moins un. Et puis ça va être multiplié par moins neuf. Et c’est parce que la dérivée de ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à moins quatre est égale à moins neuf. Et ceci va être plus moins six moins un. Et c’est parce que nous savons que ℎ de moins quatre est égal à moins six qui, encore une fois, va être multiplié par moins trois multiplié par moins un. Et c’est le même terme que le premier terme que nous avons trouvé.

D’accord, nous avons maintenant cela alors. Nous pouvons le calculer pour savoir quelle en sera la valeur. Nous allons donc obtenir trois, et c’est parce que moins trois multiplié par moins un et mois fois mois donne un plus, multiplié par moins neuf plus moins sept. C’est parce que nous avions moins six moins un. Donc, c’est moins sept multiplié par trois. Et c’est encore parce que nous avons moins trois multiplié par moins un, ce qui nous donne moins 27 plus moins 21. Eh bien, si nous ajoutons un négatif, c’est la même chose qu’une soustraction, donc cela nous donne moins 27 moins 21. Donc, nous pouvons dire que la dérivée de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à moins quatre sera moins 48.

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