Vidéo : Utiliser la relation réciproque entre les fonctions exponentielles et les logarithmes

Résous 𝑥 + 6 = 𝑒^(ln²) pour 𝑥, en donnant ta réponse au millième près.

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Transcription de vidéo

Résous 𝑥 plus six est égal à 𝑒 à la puissance ln 𝑥 carré en 𝑥, en donnant ta réponse au millième près.

Eh bien, pour commencer à résoudre ce problème, la première chose que nous examinons est ce terme, qui est 𝑒 à la puissance ln 𝑥 au carré. Pour comprendre ce que deviendra ce terme, ce que je vais faire, c’est que je vais dire que 𝑦 est égal à 𝑒 à la puissance de In 𝑥 au carré. Il est à noter que vous pouvez également appeler ici logarithme naturel. Mais juste pour cette vidéo, je vais en fait dire ln.

OK, la première chose à faire est de prendre le logarithme naturel de chaque côté. Donc, ça va me donner que ln 𝑦 est égal à ln 𝑒 à la puissance de ln 𝑥 au carré. Et ensuite, nous appliquerons une règle de log qui dit que ln 𝑒 à la puissance de 𝑥 est égal à 𝑥 ln 𝑒. Et cela va nous donner que ln 𝑦 est égal à ln 𝑥 carré multiplié par ln 𝑒.

Et ensuite, nous allons utiliser une relation que nous connaissons qui est que ln 𝑒 est égal à un. Par conséquent, nous restons avec ln 𝑦 est égal à ln 𝑥 carré car il sera ln 𝑥 carré multiplié par un, ce qui nous donne simplement ln 𝑥 carré. Et puis, nous avons que 𝑦 est égal à 𝑥 au carré. Et nous le savons parce qu’en réalité nous avons un log sur la même base des deux côtés de l’équation.

Très bien, alors pourquoi est-ce utile ? Eh bien, c’est utile parce que nous savons en fait que 𝑦 - en regardant en arrière au début - était égal à 𝑒 à la puissance de ln 𝑥 au carré. Nous pouvons donc dire que 𝑒 à la puissance de ln 𝑥 carré est simplement égal à 𝑥 carré.

Très bien, ce que je peux réellement faire maintenant, c’est revenir à notre équation et nous pouvons réellement appliquer cette relation et substituer 𝑥 carré par 𝑒 à la puissance de ln 𝑥 carré. Donc, donc, nous avons 𝑥 plus six est égal à 𝑥 carré. Alors maintenant, ce que nous faisons est que nous réorganisons réellement pour que tout soit égal à zéro. Donc, ce que j’ai réellement fait est en fait soustrait 𝑥 et six de chaque côté. Donc, nous obtenons zéro est égal à 𝑥 carré moins 𝑥 moins six.

Nous allons donc résoudre notre expression du second degré et le résoudre en utilisant la factorisation. Donc, si on en tient compte, on obtient que zéro est égal à 𝑥 moins trois multiplié par 𝑥 plus deux. Et nous obtenons ce facteur car moins trois multiplié par deux est égal à moins six. Et c’est correct parce que c’est ce qui devrait être égal car il devrait correspondre au terme final de notre expression du second degré. Et puis, nous avons moins trois plus deux est égal à moins un. Et c’est bien parce que c’est en fait le coefficient de notre terme 𝑥. Tellement génial, ils sont tous les deux cochés. Alors oui, ce sont définitivement les bons diviseurs.

Bon, alors nous pouvons maintenant résoudre. Et pour trouver nos valeurs 𝑥 à ce stade, ce que nous voulons réellement faire, c’est de mettre chacune de nos parenthèses à zéro, car si la réponse de l’équation est zéro, il faut qu’au moins une de nos parenthèses soit également zéro pour y parvenir. Donc tout d’abord, nous commencerons par 𝑥 moins trois est égal à zéro. Donc, donc, si on ajoute trois de chaque côté, on obtient que 𝑥 est égal à trois. Tellement génial, c’est l’une de nos solutions.

Et puis, si nous avons 𝑥 plus deux est égal à zéro, si nous soustrayons deux de chaque côté, il nous restera 𝑥 est égal à moins deux. C’est donc notre autre solution. On peut donc dire que les solutions pour 𝑥 sont plus six est égal à 𝑒 à la puissance ln 𝑥 au carré pour 𝑥 sont 𝑥 égal trois ou 𝑥 égal moins deux.

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