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Vidéo de question : Identifier le signe d’une fonction trigonométrique d’un angle donné Mathématiques

Est-ce que la valeur cos 400° est positive ou négative?

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Transcription de vidéo

Est-ce que la valeur cosinus de 400 degrés est positive ou négative?

Pour répondre à cette question, il est utile de rappeler le cercle trigonométrique. Rappelez-vous, ce cercle a un rayon de un, et nous pouvons ajouter les mesures suivantes de 𝜃 à notre figure en nous déplaçant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Nous commençons le long de l’axe des abscisses à zéro degré. Ici, 𝜃 a une valeur de 90 degrés. Après un demi-tour, il a une valeur de 180 degrés, puis 270 degrés, et quand nous revenons au départ, nous avons fait un tour complet, soit 360 degrés.

Maintenant, la question nous demande de déterminer si la valeur de cosinus de 400 degrés est positive ou négative. Nous devons donc continuer à nous déplacer dans le sens inverse des aiguilles d’une montre par intervalles de 90 degrés pour trouver le quadrant dans lequel se trouve 400 degrés.

360 plus 90 nous donne 450 degrés. La valeur suivante de 𝜃 est de 450 degrés. Cela signifie alors que 400 degrés se situe quelque part dans ce premier quadrant. Nous devons donc décider si pour les valeurs de 𝜃 dans le premier quadrant le cosinus est positif ou négatif.

Rappelez-vous que cosinus de 𝜃 est égal à l’adjacent sur l’hypoténuse. Alors donnons un nom au couple de coordonnées qui correspond à un angle de 400 degrés. Nous pouvons l’appeler 𝑎, 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 doivent être des nombres positifs car cet angle se trouve dans le premier quadrant.

Nous pouvons alors construire un triangle rectangle à partir de ce couple. La hauteur de ce triangle correspond à la valeur de l’ordonnée 𝑦 ; c’est 𝑏. Et la largeur du triangle correspond à la valeur de l’abscisse 𝑥 ; c’est 𝑎. Et bien sûr, nous avons déjà dit que le rayon de ce cercle a une longueur d’une unité, donc l’hypoténuse de notre triangle est d’une unité. Le côté adjacent dans ce triangle est le côté immédiatement à côté de l’angle 𝜃. Il a une longueur de 𝑎. Et l’hypoténuse est le côté directement opposé à l’angle droit. Elle a une longueur de un.

Donc pour une valeur de 𝜃 qui se trouve dans le premier quadrant, cosinus de 𝜃 est égal à 𝑎 sur un, soit simplement 𝑎. Puisque nous avons dit que 𝑎 doit être supérieur à zéro – c’est une valeur positive – cela signifie que cosinus de 𝜃 doit également être supérieur à zéro car il est égal à 𝑎. Et cela est vrai pour toute valeur de 𝜃 se trouvant dans le premier quadrant. Puisque 400 degrés se trouve dans le premier quadrant, cela signifie nécessairement que cosinus de 400 degrés est positif.

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