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Vidéo de question : Déterminer l’argument principal d’un nombre complexe Mathématiques

On pose 𝑍 = −3 - 7𝑖. Calculez l’argument principal de 𝑍 au centième de degré près.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝑍 est moins trois moins sept 𝑖, calculez l’argument principal de 𝑍 au centième de degré près.

Dans cette question, on nous donne un nombre complexe 𝑍. Et on nous demande de trouver la l’argument principal de notre valeur de 𝑍. Et nous devons donner notre réponse arrondie au centième près. Pour répondre à cette question, nous devons d’abord rappeler ce que nous entendons par un argument de 𝑍 et ce que signifie l’argument principal de 𝑍. Nous rappelons que nous disons que l’argument d’un nombre complexe 𝑍 est égal à 𝜃 lorsque 𝜃 est l’angle formé par 𝑍 avec l’axe des réels positifs du plan complexe.

Et il y a quelques points qui méritent d’être soulignés au sujet de cette définition. Premièrement, lorsque nous disons l’angle formé par 𝑍 avec l’axe des réels positifs, nous voulons dire l’angle entre l’axe des réels positifs et la demi-droite reliant l’origine à notre point 𝑍. Cependant, il peut être plus facile de penser à cela comme l’angle formé par 𝑍 avec l’axe des réels positifs.

Ensuite, puisque 𝑍 représentera l’angle mesuré à partir de l’axe des réels positifs, cela signifie qu’il y aura plusieurs valeurs pour notre argument. Par exemple, un angle de zéro, un angle de 360 et un angle de 720 représenteraient tous le même angle. Et pour contourner ce problème, nous avons introduit la notion d’argument principal. Pour la mesure d’un argument principal mesuré en radians, nous exigeons que 𝜃 soit strictement supérieur que moins 𝜋 et inférieur à 𝜋. Et la même chose est vraie si nous voulons mesurer cet angle en degrés. Nous exigeons que 𝜃 soit strictement supérieur à moins 180 degrés et inférieur à 180 degrés.

Et il convient de souligner ici que lorsque nous disons une mesure positive d’un angle, nous voulons dire que cet angle est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Et lorsque nous disons une mesure négative d’un angle, nous voulons dire que cet angle est mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre. Maintenant que nous avons cette information, nous sommes prêts à trouver l’argument du nombre complexe 𝑍 qui nous a été donné dans la question. Et puisque nous devons trouver un angle, le moyen le plus simple de le faire sera de tracer notre point sur le plan complexe.

Donc, nous commençons par esquisser nos axes. Rappelez-vous, dans le plan complexe, l’axe horizontal représente la partie réelle de notre nombre complexe et l’axe vertical représente la partie imaginaire de notre nombre complexe. Nous voulons tracer 𝑍 est égal à moins trois moins sept 𝑖 sur notre plan complexe. Et nous pouvons voir que 𝑍 est donné sous forme algébrique. C’est la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. Nous pouvons donc l’utiliser pour trouver les parties imaginaires et réelles de notre valeur de 𝑍.

La partie réelle de 𝑍 est notre valeur de 𝑎, la constante en soi, qui dans ce cas est moins trois. Et la partie imaginaire de 𝑍 est la valeur de 𝑏 ou le coefficient de 𝑖, qui, dans ce cas, est moins sept. Ainsi, la coordonnée horizontale de 𝑍 dans le plan complexe est sa partie réelle, moins trois, et sa coordonnée verticale est sa partie imaginaire, moins sept. Donc, nous pouvons tracer 𝑍 sur notre plan complexe.

Ensuite, nous allons tracer la demi-droite reliant 𝑍 à l’origine. Et enfin, nous pouvons tracer l’argument de 𝑍 sur notre plan complexe. Puisque nous voulons trouver la mesure de l’argument principal de 𝑍, donc nous sommes autorisés à faire uniquement un demi-tour au maximum, nous allons devoir aller dans le sens des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des réels positifs. Nous avons montré que l’argument de 𝑍 va être négatif.

Et maintenant, il y a de nombreuses façons différentes de trouver la valeur exacte de 𝜃. La plupart d’entre elles impliqueront une sorte de trigonométrie. Peu importe la méthode que vous préférez. Dans cette vidéo, nous allons trouver la valeur de 𝛼, indiquée sur notre plan complexe. Pour trouver notre valeur de 𝛼, nous allons devoir utiliser la trigonométrie. Tout d’abord, trouvons les côtés de notre triangle. Nous savons que la hauteur est de sept, et la largeur de trois. Il s’agit simplement de la valeur absolue de chacune des coordonnées du point 𝑍, et nous savons également qu’il s’agit d’un triangle rectangle.

Donc, 𝛼 est un angle dans un triangle rectangle où nous connaissons la longueur du côté opposé et la longueur du côté adjacent. Ainsi, en utilisant la trigonométrie, tan de 𝛼 est égale à sept sur trois. En d’autres termes, 𝛼 est la réciproque de tan de sept sur trois. Et en utilisant notre calculatrice en mode degrés, nous obtenons 𝛼 est égal à 66,80, et cela continue, degrés. Et il convient de souligner ici que notre valeur de l’angle 𝛼 est positive car nous calculons la mesure de cet angle. Nous pouvons l’utiliser pour trouver la mesure de l’angle 𝜃.

Dans notre plan complexe, nous pouvons voir que 𝛼 et 𝜃 sont deux angles sur une droite. La mesure de ces deux angles additionnés sera égale à 180 degrés. Il y a plusieurs façons d’écrire ceci. Nous allons simplement écrire ceci comme 𝛼 plus la valeur absolue de 𝜃 est de 180 degrés. Et nous pouvons simplement l’utiliser pour trouver la valeur absolue de 𝜃. Nous allons soustraire 𝛼 des deux membres de cette équation. Cela nous donne la mesure de la valeur absolue de l’angle 𝜃 égale180 degrés moins 𝛼 qui, au millième près, est 113,198 degrés. Et nous savons sur notre plan complexe que puisque 𝜃 est mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre, nous voulons qu’il soit négatif. Donc, nous avons montré, au millième près, 𝜃 est moins 113,198 degrés.

Cependant, la question veut que nous donnions cela au centième près. Donc, nous vérifions notre troisième décimale pour voir si nous devons arrondir vers le haut ou arrondir vers le bas. C’est huit, ce qui est plus grand que cinq. Donc, nous devons arrondir vers le haut. Et comme le chiffre suivant est neuf, nous devons le retenir. Ainsi, au centième près, notre angle de 𝜃 mesure moins 113,20 degrés, ce qui est notre réponse finale.

Par conséquent, nous avons pu trouver la mesure principale de l’argument de 𝑍 égale moins trois moins sept 𝑖 au centième près. Nous avons obtenu que cet angle était négatif de 113,20 degrés.

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