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Vidéo de question : Résoudre dans R une inéquation du second degré à une variable Mathématiques

Trouvez toutes les solutions de l’inéquation 𝑥² + 121 ≤ 0. Écrivez votre réponse sous la forme d’un intervalle.

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Transcription de vidéo

Trouvez toutes les solutions de l’inéquation 𝑥 au carré plus 121 est inférieur ou égal à zéro. Écrivez votre réponse sous la forme d’un intervalle.

Nous avons une inéquation du second degré et notre première étape consiste donc à représenter graphiquement la fonction du second degré que nous avons, soit 𝑥 au carré plus 121. Quelle est l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe des ordonnées ? Eh bien, c’est le terme constant, 121. Nous pouvons donc le noter sur le graphique.

Bien, qu’en est-il maintenant des abscisses des points d’intersections avec l’axe des abscisses ? Les trouver revient à résoudre 𝑥 au carré plus 121 est égal à zéro. Nous pouvons appliquer la formule des racines du second degré qui nous dit que les solutions de 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro sont moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎. Dans notre cas, 𝑎 est égal à un et 𝑏 à zéro. Il n’y a pas de terme en 𝑥, et 𝑐 est 121. Nous pouvons remplacer par ces valeurs et simplifier un peu plus pour obtenir plus ou moins la racine carrée de moins 484 sur deux.

Ici, nous avons la racine carrée d’un nombre négatif et nous savons que cela n’a pas de sens pour les nombres réels. Et ainsi il n’y a pas de solutions réelles à notre équation. En effet, le discriminant qui est 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est inférieur à zéro. Nous avons découvert que l’équation qui était censée nous donner nos intersections avec l’axe des abscisses n’a pas de solutions et nous devons donc conclure qu’il n’y a pas d’intersections avec cet axe.

Alors, à quoi ressemble donc la courbe représentative ? Le coefficient de 𝑥 au carré est égal à un qui est positif et nous avons donc une courbe qui va vers le haut. Et vous pouvez voir qu’il est logique qu’il n’y ait pas d’intersections avec l’axe des abscisses car la courbe va dans une mauvaise direction pour pouvoir couper l’axe des abscisses. La courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus 121 est simplement la courbe de 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré translaté de 121 unités vers le haut. Et il est donc logique qu’elle ne coupe pas l’axe des abscisses.

Donc, en revenant à l’inéquation que nous essayons de résoudre, 𝑥 au carré plus 121 est inférieur ou égal à zéro. Nous pouvons voir sur le graphique que 𝑥 au carré plus 121 est toujours supérieur à zéro. La courbe se situe dans les deux premiers quadrants et ne touche ni ne coupe l’axe des abscisses. Il n’y a donc aucune solution à cette inéquation. Comment pouvons-nous exprimer l’idée d’absence de solutions sous la forme d’un intervalle ? Nous utilisons ici ce symbole, qui signifie l’ensemble vide. La notation d’intervalles est un type particulier de notation d’ensemble. Et en fait, cet ensemble vide est en effet techniquement un intervalle et c’est notre réponse.

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