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Vidéo de question : Utilisation de la longueur d’onde et de l’énergie cinétique d’un électron pour déterminer une valeur inconnue Physique

La longueur d’onde 𝜆 d’un électron qui a une énergie cinétique 𝐸 peut être exprimée comme 𝜆 = 𝑘 (ℎ/𝐸), où ℎ est la constante de Planck et 𝑘 est une variable. Lequel des énoncés suivants est égal à 𝑘 ? [A] La moitié du vecteur vitesse de l’électron. [B] La moitié de la quantité de mouvement de l’électron. [C] La moitié de la masse de l’électron. [D] Aucune des réponses n’est correcte.

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Transcription de vidéo

La longueur d’onde 𝜆 d’un électron qui a une énergie cinétique de 𝐸 peut être exprimée comme 𝜆 égale 𝑘 fois ℎ divisée par 𝐸, où ℎ est la constante de Planck et 𝑘 est une variable. Lequel des énoncés suivants est égal à 𝑘 ? (A) La moitié du vecteur vitesse de l’électron. (B) La moitié de la quantité de mouvement de l’électron. (C) La moitié de la masse de l’électron. (D) Aucune des réponses n’est correcte.

Nous considérons ici cette équation, où 𝜆 est la longueur d’onde d’un électron d’énergie cinétique 𝐸 et ℎ est la constante de Planck. Nous voulons déterminer laquelle de nos options de réponse décrit cette variable 𝑘. Une façon d’éliminer certaines de ces options est de penser aux unités de chaque côté de notre équation. Comme il s’agit d’une équation, les unités de gauche doivent correspondre à celles de droite.

Si nous travaillons dans la mesure du possible en unités de base SI, alors les unités de longueur d’onde seront des mètres, les unités de la constante de Planck ℎ seront des joules fois des secondes, et les unités de l’énergie cinétique de notre électron seront des joules. Nous pouvons donc écrire cette équation, qui est juste une équation d’unités. À gauche, nous avons les mètres, les unités de longueur d’onde, puis les unités de 𝑘, quelles qu’elle soient, multipliées par des joules fois des secondes divisées par des joules.

Nous pouvons voir que les joules au numérateur et dénominateur s’annuleront. Et cela signifie que les unités de cette variable 𝑘 multipliées par des secondes doivent être égales à des mètres. Cette équation nécessite alors que les unités de 𝑘 soient des mètres par seconde. De cette façon, ce facteur de secondes au numérateur s’annulera avec ce facteur au dénominateur. Et nous arriverons à une équation simplifiée, qui dit que des mètres sont équivalent à des mètres, ce qui est vrai. Puisque les unités de 𝑘 sont une certaine distance, dans ce cas en unités de mètres, divisées par un certain temps, dans ce cas en unités de secondes, nous savons que 𝑘 doit représenter une vitesse ou un vecteur vitesse.

En regardant nos options de réponse, nous savons que l’option (B) n’est pas correcte. 𝑘 ne peut pas être une quantité de mouvement parce que les unités de quantité de mouvement ne sont pas les mêmes que celles du vecteur vitesse. Pour la même raison, l’option (C) ne peut pas être correcte non plus. Les unités de masse ne sont pas les mêmes que celles de vitesse. À ce stade, nous nous intéressons à l’option de réponse (A). Notez cependant que cette option a cette formulation un peu étrange : « La moitié du vecteur vitesse de l’électron ». Jusqu’à présent, nous avons identifié que 𝑘 est un vecteur vitesse, mais nous n’avons pas encore trouvé que c’est la moitié de quelque chose. Pour voir si c’est le cas ou non, nous devrons aborder cette question sous un angle différent.

Rappelons que nous considérons un électron qui a une longueur d’onde 𝜆. Cette longueur d’onde est décrite par l’équation de Broglie. Et cette équation dit que la longueur d’onde d’une particule est égale à la constante de Planck ℎ divisée par la quantité de mouvement de la particule 𝑝. La quantité de mouvement 𝑝 d’un objet est égale à sa masse multipliée par son vecteur vitesse. Nous avons alors que la longueur d’onde de Broglie d’un objet est égale à la constante de Planck divisée par la masse de l’objet multipliée par son vecteur vitesse.

En dégageant de l’espace pour travailler, nous pouvons appliquer la longueur d’onde de Broglie de l’électron à cette équation donnée. Autrement dit, en plus de dire que 𝜆 est égal à 𝑘 fois ℎ divisé par 𝐸, nous pouvons dire que c’est égal à ℎ divisé par 𝑚 fois 𝑣. En se concentrant uniquement sur cette équation, nous pouvons voir que la constante de Planck ℎ est commune aux deux côtés, et nous pouvons donc l’annuler.

Nous avons alors que notre variable 𝑘 divisée par l’énergie cinétique de l’électron est égale à un divisé par la masse de l’électron multipliée par son vecteur vitesse. Rappelons maintenant que l’énergie cinétique d’un objet - nous l’appellerons 𝐸 - est égale à la moitié de la masse de cet objet multipliée par son vecteur vitesse au carré. En effectuant cette substitution, nous constatons que 𝑘 divisé par un demi 𝑚𝑣 au carré est égal à un sur 𝑚 fois 𝑣.

Si nous multiplions les deux côtés de cette équation par 𝑚 fois 𝑣, alors sur le côté gauche, un facteur de 𝑚 et un facteur de 𝑣 s’annulent au numérateur et au dénominateur. Et sur le côté droit, ces deux facteurs s’annulent complètement. Notre équation se simplifie comme 𝑘 divisé par un-demi fois 𝑣 est égal à un. En multipliant les deux côtés par la moitié du vecteur vitesse 𝑣, ce facteur s’annule à gauche, et nous trouvons que le résultat final simplifié est 𝑘 est égal à 𝑣 divisé par deux.

C’est alors ce dont parle l’option de réponse (A) lorsqu’elle décrit 𝑘 comme la moitié du vecteur vitesse de l’électron. 𝑘 est littéralement égal à 𝑣 divisé par deux. Nous choisissons alors l’option de réponse (A). La variable 𝑘 est égale à la moitié du vecteur vitesse de l’électron.

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