Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les propriétés des opérations sur les racines cubiques pour simplifier des expressions.
Commençons par rappeler l’une des propriétés clés que nous devons utiliser dans cette vidéo. Le produit des racines cubiques indique que pour tout nombre réel 𝑎 et 𝑏, la racine cubique de 𝑎 multipliée par la racine cubique de 𝑏 est égale à la racine cubique de 𝑎 multipliée par 𝑏. Par exemple, supposons que nous devons multiplier la racine cubique de 12 par la racine cubique de 18. En utilisant la règle ci-dessus, cela peut être réécrit comme la racine cubique de 12 multipliée par 18. Et puisque 12 multiplié par 18 est égal à 216, nous avons la racine cubique de 216. Comme six au cube est égal à 216, alors 216 est un cube parfait tel que la racine cubique de 216 est six.
Nous pouvons également simplifier une racine cubique qui est divisible par un cube parfait en la divisant en un produit des racines cubiques. Par exemple, nous pouvons réécrire la racine cubique de 54 comme la racine cubique de 27 fois deux. Cela peut s’écrire comme la racine cubique de 27 fois la racine cubique de deux. Enfin, comme la racine cubique de 27 est trois, la racine cubique de 54 écrite sous sa forme la plus simple est trois fois la racine cubique de deux.
En utilisant cette deuxième méthode, nous pouvons réécrire la racine cubique d’un cube non parfait sous une forme simplifiée. Pour tout entier 𝑐, nous écrivons la racine cubique de 𝑐 sous la forme 𝑎 fois la racine cubique de 𝑏, où 𝑏 est le plus petit entier positif possible, en utilisant les étapes suivantes. Tout d’abord, nous trouvons le plus grand cube parfait qui divise 𝑐. Deuxièmement, nous choisissons l’entier 𝑎 de sorte qu’il ait le même signe que 𝑐 tel que 𝑎 au cube divise 𝑐 et 𝑎 au cube est le plus grand cube parfait divisant 𝑐. Nous avons alors la racine cubique de 𝑐 est égale à la racine cubique de 𝑎 au cube fois 𝑏, qui est égale à 𝑎 fois la racine cubique de 𝑏.
Nous allons maintenant considérer quelques exemples de ce type.
Écrivez chacune des expressions racines suivantes sous la forme 𝑎 multiplié par la racine cubique de 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 sont des entiers et 𝑏 est la plus petite valeur positive possible : la racine cubique de 256 et la racine cubique de moins 540.
Nous commençons la première partie de cette question en recherchant les cubes parfaits qui divisent 256. Les six premiers cubes parfaits sont un, huit, 27 ; 64 ; 125 et 216. Le plus grand d’entre eux qui divise exactement 256 est 64. Rappelant la règle du produit pour les racines cubiques, pour deux nombres réels 𝑚 et 𝑛 comme indiqué, nous pouvons réécrire la racine cubique de 256 comme la racine cubique de 64 multipliée par la racine cubique de quatre. Et puisque la racine cubique de 64 est quatre, donc la racine cubique de 256 est égale à quatre fois la racine cubique de quatre. Ceci est écrit sous la forme correcte comme demandé.
Nous pouvons répondre à la deuxième partie de la question en utilisant la même méthode. Cependant, cette fois nous notons que nous essayons d’exprimer la racine cubique d’un nombre négatif. Puisque 27 est le plus grand cube parfait qui divise 540, nous pouvons réécrire la racine cubique de moins 540 comme la racine cubique de moins 27 fois la racine cubique de 20. La racine cubique de moins 27 est moins trois. Et ainsi, notre réponse se simplifie en moins trois fois la racine cubique de 20.
Dans notre prochain exemple, nous allons appliquer la propriété produit des racines cubiques pour simplifier un produit des racines.
Exprimez la racine cubique de quatre fois la racine cubique de moins 16 sous la forme la plus simple.
Pour répondre à cette question, rappelons d’abord que pour deux nombres réels 𝑎 et 𝑏, la racine cubique de 𝑎 fois la racine cubique de 𝑏 est égale à la racine cubique de 𝑎 fois 𝑏. Cela signifie que la racine cubique de quatre fois la racine cubique de moins 16 est égale à la racine cubique de quatre fois moins 16. Quatre fois moins 16 est égal à moins 64. Notre expression se simplifie donc comme indiqué. Ensuite, on remarque que moins quatre au cube est égal à moins 64. Et ainsi, la racine cubique de moins 64 est moins quatre.
Jusqu’à présent, dans cette vidéo, nous avons travaillé avec la simplification des racines cubiques des entiers. Cependant, ce résultat fonctionne avec les racines cubiques de tous les nombres réels. Une application de ce résultat consiste à considérer la racine cubique du quotient des nombres réels. Pour tous nombres réels 𝑎 et 𝑏, où 𝑏 est non nul, nous avons la racine cubique de 𝑎 sur 𝑏 est égale à la racine cubique de 𝑎 divisée par la racine cubique de 𝑏. Nous allons maintenant voir un exemple d’utilisation de ces deux propriétés pour simplifier une expression impliquant des racines.
Simplifiez la racine cubique de deux fois la racine cubique de quatre divisée par la racine cubique de 32 fois la racine cubique de moins deux.
Nous commençons par noter qu’aucun des nombres ici n’est un cube parfait. Ainsi, nous ne pouvons calculer directement aucun des racines individuelles. Au lieu de cela, nous allons utiliser deux propriétés des racines cubiques. Premièrement, la racine cubique de 𝑎 fois la racine cubique de 𝑏 est égale à la racine cubique de 𝑎 fois 𝑏. Cela sera valable si 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels, comme dans ce cas. Nous pouvons réécrire le numérateur de notre fraction comme la racine cubique de deux fois quatre. Et le dénominateur se simplifie à la racine cubique de 32 fois moins deux. Cela nous donne à son tour la racine cubique de huit sur la racine cubique de moins 64.
Ensuite, nous utilisons le fait que lorsque 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels et que 𝑏 est non nul, la racine cubique de 𝑎 sur la racine cubique de 𝑏 est égale à la racine cubique de 𝑎 divisée par 𝑏. Nous pouvons donc réécrire notre expression sous la forme de racine cubique de huit sur moins 64. La fraction huit sur 64 écrite sous la forme irréductible est un huitième. Cela signifie que notre expression se simplifie à la racine cubique de moins un huitième.
Enfin, puisque moins un demi au cube est moins un huitième, alors la racine cubique de moins un huitième est moins un demi. L’expression de la racine cubique de deux fois la racine cubique de quatre divisée par la racine cubique de 32 fois la racine cubique de moins deux, dans sa forme la plus simple est moins un demi.
Dans notre prochain exemple, nous allons simplifier une expression impliquant l’addition et la soustraction de plusieurs expressions racines.
Exprimez moins cinq fois la racine cubique de 192 plus cinq fois la racine cubique de moins 648 plus la racine cubique de 375 sous la forme la plus simple.
Nous allons commencer cette question en simplifiant chacun des trois termes séparément. Nous le ferons en utilisant le fait que pour tous nombres réels 𝑎 et 𝑏, la racine cubique de 𝑎 fois la racine cubique de 𝑏 est égale à la racine cubique de 𝑎 fois 𝑏. Le plus grand cube parfait qui est un diviseur de 192 est 64. Donc, la racine cubique de 192 est égale à la racine cubique de 64 fois trois. Cela peut être écrit comme la racine cubique de 64 fois la racine cubique de trois qui, à son tour, est égale à quatre fois la racine cubique de trois. Le premier terme de notre expression initiale est donc égal à moins cinq fois quatre fois la racine cubique de trois.
Nous pouvons utiliser le même processus pour simplifier la racine cubique de moins 648. Cette fois, puisque moins 216 fois trois est égale au moins 648, nous avons la racine cubique de moins 216 fois trois. En utilisant la propriété du produit des racines cubiques et notre connaissance des cubes parfaits, nous avons moins six fois la racine cubique de trois. Le deuxième terme de notre expression initiale est donc égal à cinq fois celui-ci.
Ensuite, nous pouvons réécrire la racine cubique de 375 comme la racine cubique de 125 fois la racine cubique de trois. Et cela est égal à cinq fois la racine cubique de trois. Nous sommes maintenant dans une situation où nous pouvons simplifier chacun des deux premiers termes. L’expression entière se simplifie en moins 20 fois la racine cubique de trois moins 30 fois la racine cubique de trois plus cinq fois la racine cubique de trois. Enfin, puisque moins 20 moins 30 plus cinq est égal à moins 45, nous pouvons conclure que l’expression initiale écrite sous la forme la plus simple est moins 45 multipliée par la racine cubique de trois.
Nous allons maintenant terminer cette vidéo en récapitulant les points clés. Nous avons vu dans cette vidéo que pour deux nombres réels 𝑎 et 𝑏, la racine cubique de 𝑎 fois la racine cubique de 𝑏 est égale à la racine cubique de 𝑎 fois 𝑏. De la même manière, pour deux nombres réels 𝑎 et 𝑏, où 𝑏 est non nul, la racine cubique de 𝑎 sur 𝑏 est égale à la racine cubique de 𝑎 divisée par la racine cubique de 𝑏. Enfin, nous avons vu que si 𝑐 est un entier, nous pouvons utiliser ces résultats pour écrire la racine cubique de 𝑐 comme 𝑎 multipliée par la racine cubique de 𝑏, où 𝑏 est le plus petit entier positif et n’a pas de diviseurs cubes parfaits supérieurs à un. Cela s’appelle la forme la plus simple de la racine cubique de 𝑐.
