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Vidéo de question : Utilisation de la loi des sinus pour calculer des longueurs inconnues dans un triangle Mathématiques

Deux hommes se tiennent debout devant un minaret représenté par le segment 𝐴𝐷, ils se situent respectivement aux points 𝐵 et 𝐶, espacés de 25,4 m. Trouvez la hauteur du minaret, donnez la réponse au dixième près.

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Transcription de vidéo

Deux hommes sont devant un minaret 𝐴𝐷, ils se situent aux points 𝐵 et 𝐶, respectivement, espacés de 25,4 mètres. Calculez la hauteur du minaret, arrondissez la réponse au dixième près.

La première chose à faire est de calculer l’angle obtus en 𝐵. Nous savons que la somme de deux angles supplémentaires est égale à 180 degrés. Nous pouvons donc retrancher 64 de 180. Nous obtenons que l’angle obtus en 𝐵 mesure 116 degrés.

Maintenant que nous connaissons deux des angles du triangle 𝐴𝐵𝐶, nous pouvons calculer le troisième angle. Rappelons que ce petit symbole signifie minutes. C’est en base 60. Cela signifie que 34 degrés et 48 minutes sont égaux à 34 et quarante-huit sur soixante en degré. Quarante-huit sur soixante égale 0,8. Donc, 34 degrés et 48 minutes sont égaux à 34,8 degrés.

La somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Nous pouvons donc calculer l’angle 𝐶𝐴𝐵 en retranchant 34,8 et 116 de 180. La mesure de l’angle 𝐴 — c’est-à-dire l’angle 𝐶𝐴𝐵 — est de 29,2 degrés.

Nous avons donc un triangle non rectangle dont nous connaissons les trois angles et la longueur d’un côté. Nous pouvons donc utiliser la loi des sinus pour trouver le côté commun aux deux triangles — le côté 𝐴𝐵.

Le côté opposé à l’angle 𝐴 est noté 𝑎 minuscule, le côté opposé à l’angle 𝐵 est noté 𝑏 minuscule, et le côté opposé à l’angle 𝐶 est noté 𝑐 minuscule. Puisque nous recherchons la longueur du côté 𝐴𝐵, soit 𝑐 minuscule, nous allons utiliser la première formule de la loi des sinus.

En fait, nous pouvons choisir n’importe laquelle. Mais puisque nous recherchons la longueur d’un côté, et non un angle, utiliser la première formule permet de simplifier les calculs. La deuxième formule est plus pratique à utiliser si nous recherchons un angle.

Nous connaissons la longueur du côté 𝑎 et nous cherchons à calculer le côté 𝑐. 𝑏 ne nous intéresse pas du tout. Nous allons donc utiliser la formule 𝑎 sur sin 𝐴 égale 𝑐 sur sin 𝐶. Nous pouvons substituer les valeurs du triangle dans cette formule. Cela donne 25,4 sur sin de 29,2 égale 𝑐 sur sin de 34,8.

Ensuite, pour résoudre cette équation, nous multiplions chaque côté par sin de 34,8. Cela donne 25,4 sur sin de 29,2 multiplié par sin de 34,8. À l’aide d’une calculatrice, nous obtenons 𝑐 égale 29,7137 et quelques.

Nous n’arrondirons pas ce nombre pour le moment. Il vaut mieux utiliser le nombre exact dans notre prochain calcul. Cela évitera les erreurs d’arrondi. Nous connaissons maintenant la longueur de 𝐴𝐵, c’est 29,7137 mètres. Nous cherchons la longueur du côté 𝐴𝐷.

Le triangle 𝐴𝐵𝐷 est un triangle rectangle avec une hypoténuse de longueur 29,7137. Son côté opposé est le côté noté 𝑥. C’est le côté opposé à l’angle de 64 degrés. Comme nous connaissons la longueur de l’hypoténuse et que nous cherchons la longueur du côté opposé, nous pouvons utiliser l’identité du sinus, sin de 𝜃 est égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse.

En remplaçant les valeurs du triangle dans la formule, nous obtenons sinus de 64 égale 𝑥 sur 29,7137. Nous pouvons résoudre cette équation en multipliant chaque côté par 29,7137. 𝑥 est donc égal au sinus de 64 multiplié par 29,7137. Ça fait 29,706.

Arrondi au dixième, la hauteur du minaret est de 29,7 mètres.

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