Vidéo de la leçon : Représentation graphique des inéquations à deux variables Mathématiques

Apprenez à tracer des graphiques d’inéquations linéaires à deux variables, telles que 𝑦 > 3𝑥 − 1, en traçant une courbe d’égalité approprié et en considérant si la région d’inégalité est au-dessus, au-dessous ou sur la droite.

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Transcription de vidéo

Représenter graphiquement des inéquations à deux variables

Là, étant donné cette inéquation, on peut dire que 𝑦 est supérieur ou égal à trois 𝑥 moins un. Donc, comment nous allons tracer cela, nous allons essentiellement faire semblant de tracer à la place. Et si nous traitions la droite 𝑦 est égale à trois 𝑥 moins un. La première chose dont nous aurions besoin est un tableau de valeurs. Eh bien, nous devons choisir trois coordonnées. Mes favoris sont moins un, zéro et un. Elle peut être supérieure à trois valeurs, mais elle ne peut jamais être inférieure. Nous allons donc prendre chacune de ces coordonnées 𝑥 que nous avons choisies maintenant et les substituer dans la fonction pour obtenir la valeur 𝑦.

Donc pour le premier, nous mettons 𝑦 égal à trois multiplié par moins un moins un. Eh bien trois multiplié par moins un est moins trois. Et en soustrayant un de cela, nous obtenons moins quatre. Puis, en essayant zéro, nous savons que trois multiplié par zéro est égal à zéro. Alors, zéro moins un est moins un. Et puis finalement, en remplaçant un sur la coordonnée 𝑥, nous aurons trois multiplié par un, ce qui est trois, et moins un est deux.

Alors maintenant, nous avons des coordonnées. Ces coordonnées sont : moins un, moins quatre ; zéro, moins un ; et un, deux. Nous avons chacune de ces coordonnées en regardant évidemment les coordonnées 𝑥 dans le tableau des valeurs et en regardant le 𝑦, puis en disant, bien c’est le 𝑥 et c’est le 𝑦, pour trouver chacun des ensembles de coordonnées. Maintenant, ce que nous devons faire, c’est tracer cette courbe. Mais c’est là que nous devons nous soucier qu’il s’agisse à nouveau d’une inégalité.

Donc, en traçant chacun de ces points, nous avons moins un, moins quatre ; zéro, moins un ; et un, deux. Maintenant, c’est une inéquation qui est une inégalité « ou égale à », comme nous pouvons le voir ici. Donc, cela signifie que lorsque nous arrivons à tracer la courbe, nous devons avoir une droite, plutôt qu’une droite pointillée. Parce que pour la droite pointillée, elle est juste supérieure ou inférieure à, alors qu’avec une droite, nous incluons également « ou égal à ». Et cela suit, si vous vous souvenez d’avoir mis des inéquations sur une droite numérique, nous avons mis un cercle creux dans le cas où nous avions juste plus ou moins que, et un cercle de couleur pour « ou égal à ».

Donc de toute façon, pour en revenir à la question, nous pouvons voir que la nôtre est un « ou égal à », donc il faut que ce soit une droite. C’est ce que j’ai fait plus tôt. Maintenant, la chose avec des inéquations à deux variables, la chose qui est différente de quand nous avons de simples inéquations linéaires, c’est que nous ne pouvons pas simplement dire « Oh d’accord, cela signifie que je vais ombrager ce côté ». Nous devons réellement faire des tests. Nous allons donc tester ci-dessus et tester ci-dessous, et voir ce qui correspond à notre inéquation. Donc, si nous testons ce point au-dessous de cinq, cinq et nous testons moins cinq, dix ci-dessus. Nous pouvons vraiment choisir n’importe quel point. Mais il suffit de voir si ces points satisfont l’inéquation. Nous avons donc que 𝑦 est dix, donc nous mettons dix est supérieur ou égal à trois multiplié par la valeur 𝑥, qui est moins cinq, moins un. Eh bien, nous savons que trois multiplié par moins cinq est moins quinze, et que moins quinze moins un est moins seize. Donc, dix est supérieur ou égal à moins seize. Donc, ci-dessus ça fonctionne. Mais nous n’allons pas simplement prendre cela comme une réponse et dire : « Eh bien, nous y voilà. Je vais ombrager la région ci-dessus, car cela satisfait l’inéquation » car nous devons supposer que nous avons toujours pu faire quelque chose de faux. Vérifions donc notre test ci-dessous, et cela devrait être faux ; il ne doit pas satisfaire l’inéquation.

Nous avons donc cinq est supérieur ou égal à trois multiplié par cinq moins un. Eh bien trois multiplié par cinq est égal à quinze, et en soustrayant un de cela, nous obtenons quatorze. Maintenant, ce n’est pas vrai que cinq est supérieur ou égal à quatorze. Nous savons donc que ci-dessous ça ne fonctionne pas, c’est exactement ce que nous voulions. Nous pouvons donc ombrer la région qui satisfait l’inéquation, et c’est au-dessus. Et maintenant, nous avons ombré l’inéquation correcte en traçant la droite et en testant ci-dessus et en testant ci-dessous. Maintenant, une chose qui doit être en place pour que nous puissions faire un tableau de valeurs est que notre inéquation doit être sous la forme 𝑦 égale à 𝑚𝑥 plus 𝑐, ce que nous pouvons voir que ce n’est pas le cas dans cette question.

Donc, dans cette question, nous devons d’abord obtenir notre inéquation sous la forme 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑐.

Donc, ce que nous devons essentiellement faire, c’est réorganiser pour placer 𝑦 comme le sujet de la fonction. Alors ce que nous allons faire en premier, est soustraire deux 𝑥 des deux côtés. Et cela nous donne sur le côté gauche trois 𝑦, ce qui est inférieur ou égal à sept moins deux 𝑥 sur le côté droit. Nous pouvons voir que ce n’est toujours pas tout à fait comme nous en avons besoin. Nous avons besoin que ce soit juste 𝑦, est-il inférieur ou égal à. Nous allons donc devoir diviser les deux côtés par trois, ce qui nous donne 𝑦 est inférieur ou égal à sept moins deux 𝑥, le tout divisé par trois. Et bien que ce ne soit pas exactement sous la forme que nous voulons, nous pouvons voir que c’est un certain nombre et un certain coefficient de 𝑥 à droite avec 𝑦 par lui-même à gauche.

Nous pouvons donc l’utiliser pour avoir un tableau de valeurs et tracer la courbe. Donc, en substituant moins un à la fonction, nous obtenons 𝑦 est inférieur ou égal à sept moins deux fois moins un le tout divisé par trois. Les négatifs sur le dessus deviennent positifs, nous avons donc sept, plus deux, ce qui est neuf, divisé par trois, nous donne une réponse de trois. Et puis en remplaçant par zéro et un, nous obtenons des fractions de sept sur trois et de cinq sur trois. Alors maintenant, cela nous donne quelques coordonnées de moins un, trois ; zéro, sept sur trois ; et un, cinq sur trois. Ce ne sont pas les plus belles coordonnées à tracer, mais nous pouvons certainement les utiliser. Et lorsque nous traçons notre graphique, nous obtenons ceci.

Et puis enfin, nous devons tester ci-dessus et tester ci-dessous. Nous allons donc choisir cinq, cinq ci-dessus et moins cinq, moins cinq ci-dessous. Donc, pour nous faciliter la tâche, utilisons la fonction d’origine. Eh bien, nous en avons trois multiplié par cinq, ce qui fait quinze. Plus deux multiplié par cinq, ce qui fait dix. Et cela doit être inférieur ou égal à sept, ce qui n’est pas le cas. Donc, ce qui précède ne fonctionne pas. Nous devons donc tester ci-dessous.

Encore une fois, en utilisant la fonction d’origine, nous avons trois multiplié par moins cinq, ce qui est moins quinze. Plus deux multipliés par moins cinq, ce qui est moins dix. Et cela est inférieur ou égal à sept. Donc ci-dessous fonctionne. Donc, pour ombrer la région qui satisfait l’inéquation, nous devons ombrer sous la droite.

Et maintenant nous l’avons. Nous avons terminé les inéquations avec deux variables. Et les choses les plus importantes sont de se rappeler de tracer en utilisant un tableau de valeurs, et de vérifier au-dessus et au-dessous de la droite, pour pouvoir savoir quel côté ombrer.

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