Vidéo : Centre de masse

Dans cette vidéo, nous apprenons ce qu’est le centre de masse, pourquoi il est utile, et comment calculer le centre de masse de n’importe quelle distribution de masse le long d’une dimension quelconque.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons découvrir le centre de masse. Nous allons apprendre ce qu’est un centre de masse, pourquoi il est utile et comment le calculer.

Pour commencer, imaginez que vous travaillez dans un établissement de soufflage de verre spécialisé dans les travaux sur mesure et les œuvres d’art. Un jour, en déplaçant l’une des sculptures de verre d’un endroit à l’autre de l’atelier, elle commence à glisser et à tomber par terre. En réagissant rapidement, vous essayez d’attraper l’œuvre en chute et de la retenir à l’endroit le plus stable. Pour savoir où se trouve le point le plus stable de l’œuvre, il serait utile de connaître le centre de masse.

Le centre de masse, ou CdM en abrégé, d’un objet est l’emplacement moyen de toute sa masse. Par exemple, le centre de masse d’un carré, d’un triangle et d’un cercle se situe approximativement à ces emplacements. Pour les figures bidimensionnelles, l’un des moyens de penser au centre de masse est le point où, si la forme y était appuyée, elle serait équilibrée. Le centre de masse est souvent défini par rapport à un système de coordonnées de référence. Disons, par exemple, que nous avions une forme tridimensionnelle dans un système de coordonnées 𝑥𝑦𝑧. Nous pourrions exprimer le centre de masse de cet objet sous la forme d’un point de coordonnées connues par rapport à l’origine de ces axes.

En parlant des coordonnées de centre de masse, parlons un peu de la façon de calculer le centre de masse. Considérons un cas simple où nous avons deux masses 𝑚 un et 𝑚 deux situées sur une droite du système de coordonnées. Si nous voulons calculer le centre de masse de ce système de deux masses, nous le faisons mathématiquement dans le numérateur, en calculant la somme des produits de chacune des deux masses, 𝑚 un et 𝑚 deux, par leurs positions que nous avons appelées respectivement 𝑥 un et 𝑥 deux.

Les valeurs de ces positions sont mesurées par rapport à notre point de référence - dans ce cas, le point zéro sur la droite. C’est le numérateur de cette fraction. Et au dénominateur, nous avons la somme de nos deux masses 𝑚 un et 𝑚 deux. Cette équation de centre de masse est spécifique à ce scénario, mais nous pouvons généraliser cette idée pour l’appliquer à n’importe quelle figure de n’importe quelle dimension.

Si nous avons une distribution générale des masses dans un système de coordonnées, alors, dans n’importe quelle des directions indépendantes des coordonnées, nous pouvons déterminer le centre de masse dans cette direction en utilisant une formule similaire : élément de la masse un fois la distance le long de cet axe à cette masse plus élément de la masse deux fois la distance le long de cet axe à ce deuxième élément de masse, et ainsi de suite pour tous les éléments de masse situés le long de cette droite. Ce numérateur est divisé par un dénominateur égal à la somme de tous les éléments de masse. On peut aussi écrire cette expression comme la somme de tous les éléments de masse 𝑖 de 𝑚 indice 𝑖 fois 𝑑 indice 𝑖 divisée par la somme des éléments de masse.

Calculer le centre de masse d’un système de masses peut être très utile, car une fois que nous avons localisé le centre de masse d’un système, nous savons que si nous appliquons une force directement à ce point du système — en supposant qu’il s’agisse d’un point matériel — alors le système de masses se déplacerait sans aucune rotation. Mais par translation.

En repensant à notre exemple du début, essayer d’attraper une sculpture en verre qui tombe, c’est pourquoi nous voulons saisir cette sculpture en son centre de masse, afin qu’elle ne tourne pas après l’avoir retenue. L’un des meilleurs moyens de comprendre le centre de masse c’est de le calculer à l’aide de quelques exemples pratiques. Faisons-le maintenant.

Une barre de fer de 0.75 mètre de long dont la densité est de 8.0 grammes par centimètre cube est reliée bout à bout à une barre de cuivre de 0.75 mètre de long et de densité 2.7 grammes par centimètre cube. Si les surfaces de section transversale des deux barres sont égales, alors à quelle distance de l’extrémité non jointe de la barre de fer se situe le centre de masse de l’objet ?

Nous pouvons appeler cette distance 𝑑 indice cm, et commencer par dessiner un diagramme représentant cette situation. Dans cet exemple, nous avons une barre de fer de 0.75 mètres de longueur reliée à son extrémité droite à une barre de cuivre de 0.75 mètres de longueur. Et on connaît la densité de la barre de fer et celle de la barre de cuivre. En considérant ces barres comme tout un système en soi, si le centre de masse est situé quelque part le long de ce 1.50 mètre, nous voulons déterminer la distance — que nous avons appelée 𝑑 indice cm — de ce centre de masse à l’extrémité non attachée de la barre de fer.

Nous pouvons rappeler la relation mathématique décrivant le centre de masse le long d’un axe donné. Le centre de masse d’une distribution d’éléments de masse — nous les avons appelés 𝑚 indice 𝑖 — est égal à la somme de chaque élément multiplié par la distance qui le sépare de l’origine, le tout divisé par la somme des masses ensemble.

En regardant notre exemple avec le système de deux barres métalliques, nous savons que le centre de masse de la barre de fer est en son centre géométrique, et que le centre de masse de la barre de cuivre est également en son centre géométrique. On peut donc écrire que 𝑑 indice cm le centre de masse de ce système de deux barres égale la masse du fer multipliée par sa distance à un point de référence plus la masse du cuivre multipliée par sa distance à un point de référence, le tout divisé par la somme de ces deux masses.

On connaît les densités de nos barres de fer et de cuivre, mais pas leur masse. On peut rappeler cependant que la densité 𝜌 est égale à la masse divisée par le volume, ou en d’autres termes, la masse est égale à la densité multipliée par le volume. Donc, en remplaçant 𝑚 indice i et 𝑚 indice c dans notre équation pour 𝑑 indice cm, nous pouvons écrire 𝜌 indice i fois et 𝜌 indice c fois 𝑉, respectivement. Nous savons que les volumes des deux barres sont égaux car elles ont la même longueur et la même surface de section transversal.

En regardant cette expression pour 𝑑 indice cm, nous voyons que le volume 𝑉 apparaît dans chaque terme. Cela signifie que nous pouvons le pendre comme facteur commun et l’annuler de notre expression. Nous voyons maintenant que puisque nous connaissons 𝜌 indice i et 𝜌 indice c, tout ce dont nous avons besoin pour résoudre afin de déterminer 𝑑 indice cm est la distance du centre de masse de la barre de fer et la distance du centre de masse de la barre de cuivre à l’origine. Puisque ces deux barres sont homogènes, donc la distance entre le centre de masse de la barre de fer et l’extrémité gauche de cette barre est égale à la moitié de 0.75 mètres, soit 0.375 mètres. De même, 𝑑 indice c est égale à cette même valeur plus la longueur de la tige de fer de 0.75 mètres.

Nous sommes maintenant prêts à remplacer et à résoudre pour 𝑑 sous cm. Lorsque nous remplaçons toutes ces valeurs — la densité du fer et la position de son centre de masse, ainsi que la densité de cuivre et la position de son centre de masse — et tapons cette expression sur notre calculatrice, nous trouvons un résultat de 0.56 mètres. C’est la distance entre l’extrémité non attachée de la barre de fer et ce centre de masse de ce système de deux barres.

Voyons maintenant un exemple impliquant un centre de masse qui change avec le temps.

Deux particules de masses de 2.0 kg et 4.0 kg se déplacent en cercles uniformes de rayons 5.0 centimètres et 𝑅 centimètres, respectivement. L’abscisse 𝑥 de la particule se déplaçant en le cercle de rayon de 5.0 cm est donnée par 𝑥 en fonction de 𝑡 égale 5.0 cosinus de deux 𝑡, et son ordonnée 𝑦 par 𝑦 en fonction de 𝑡 égale 5.0 sinus de deux 𝑡. L’abscisse 𝑥 du centre de masse des particules est donnée par 𝑥 indice cm en fonction de 𝑡 égale 6.0 cosinus de deux 𝑡, et l’ordonnée 𝑦 du centre de masse des particules est donnée par 𝑦 indice cm en fonction de 𝑡 égale 6.0 sinus de deux 𝑡. Déterminez 𝑅.

Nous voulons déterminer le rayon de rotation de notre particule de 4.0 kg. Et pour ce faire, nous pouvons commencer par tracer un diagramme représentant ce scénario. Dans cet exemple, on parle de deux masses qui se déplacent en mouvement circulaire. La masse un se déplace en un cercle de rayon appelé 𝑟 et mesurant 5.0 centimètres. La deuxième masse, la masse deux, se déplace en un cercle de rayon 𝑅 majuscule que nous voulons déterminer.

En ce qui concerne la plus petite masse, on nous donne les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de cette masse en fonction du temps. Et on nous donne également les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de masse de ce système de deux masses en fonction du temps. Même avec le centre de masse qui change avec le temps, la relation selon laquelle le centre de masse est égal à la somme du produit de chaque élément de masse multiplié par sa distance du centre de masse divisée par la somme de toutes les masses s’applique toujours à notre situation.

Observons un peu la position 𝑥 de notre particule et la position 𝑥 du centre de masse du système. Nous remarquons que ces deux expressions ont la même phase. Et si nous regardons 𝑦 comme fonction de 𝑡 et l’ordonnée 𝑦 du centre de masse, nous remarquons la même relation, que la phase est la même. Cela signifie que nous pouvons déterminer le rayon de notre deuxième particule, 𝑅 majuscule, en regardant soit la coordonnée 𝑥, soit séparément la coordonnée 𝑦. Les deux vont nous donner la même information.

Juste pour choisir l’une des coordonnées, écrivons la relation du centre de masse dans la direction des 𝑥. L’abscisse 𝑥 du centre de masse de notre système de masses est égale à 𝑚 un fois 𝑥 comme fonction de 𝑡 fois 𝑚 deux fois la fonction que nous avons appelée 𝑥 indice deux comme fonction de 𝑡, qui est inconnue pour l’instant, le tout divisé par la somme de 𝑚 un et 𝑚 deux.

Remplaçons ce que nous connaissons dans notre équation. Nous connaissons 𝑥 indice cm, 𝑚 un, 𝑚 deux et 𝑥 comme fonction du temps. Lorsque nous écrivons toutes les informations que nous connaissons, nous voyons que la forme finale de notre expression de centre de masse a un cosinus de deux 𝑡. Nous voyons cette même forme dans l’expression de l’exposition de notre plus petite particule. Et sachant que le 5.0 qui précède cette information de phase représente le rayon de la rotation de notre plus petite particule.

Cela nous donne une idée que l’expression pour 𝑥 indice deux comme fonction de 𝑡 sera le rayon de la plus grande particule 𝑅 majuscule multiplié par le même cosinus de phase de deux 𝑡. Nous savons que 𝑥 indice deux de 𝑡 aura cette forme car il s’agit de l’exposition de la particule de rayon 𝑅 majuscule. Et nous savons que la relation de phase de la position de cette seconde particule doit être cohérente avec la relation de phase du centre de masse global du système.

Donc, en remplaçant par cette expression dans notre équation de centre de masse, nous voyons que les unités de kilogrammes s’annulent de cette expression. Et si nous multiplions les deux membres de notre équation par 6.0, puis soustrayons 10.0 fois cosinus de deux 𝑡 des deux membres, et voyons ainsi le cosinus de deux 𝑡 apparaître aux deux membres, annulant ce terme de la phase trigonométrique, nous trouvons que 26 est égal à 4.0 𝑅, ou 𝑅 est égal à 26 divisé par 4.0, où 𝑅 est implicitement en centimètres. Arrondi à deux chiffres significatifs, 𝑅 est égal à 6.5 centimètres. C’est le rayon du cercle sur lequel se déplace la grande particule.

Résumons ce que nous avons appris sur le centre de masse. Nous avons vu que le centre de masse d’un objet est l’emplacement moyen de toute sa masse. Une des raisons pour lesquelles il est utile de connaître le centre de masse d’un objet tient au fait qu’une force appliquée à travers le centre de masse d’un objet tend à le déplacer par translation, non pas par rotation. Enfin, nous avons vu qu’en tant que relation mathématique, le centre de masse d’un objet est égal à la somme du produit de ses éléments de masse 𝑚 indice 𝑖 multiplié par la distance de chaque élément à un point de référence, le tout divisé par la somme des éléments de masse. Et nous avons remarqué que chaque dimension du centre de masse d’un objet, qu’elle soit 𝑥 ou 𝑦 ou une autre, doit être calculée séparément.

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