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Vidéo de question : Trouver l’argument principal d’un nombre complexe Mathématiques

Étant donné 𝑧 = −5 + 9𝑖, trouvez l’argument principal de 𝑧 au centième de degré près.

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Transcription de vidéo

Étant donné 𝑧 est égal à moins cinq plus neuf 𝑖, trouvez l’argument principal de 𝑧 au centième de degré près.

Dans cette question, on nous donne un nombre complexe 𝑧, écrit sous forme algébrique et on nous demande de trouver l’argument principal de notre nombre complexe 𝑧. Et nous devons arrondir notre réponse au centième de degré près.

Pour répondre à cette question, commençons par rappeler ce que nous entendons par l’argument d’un nombre complexe 𝑧 et ce que cela signifie pour un argument d’être l’argument principal. Premièrement, nous disons que l’argument d’un nombre complexe 𝑧 est égal à 𝜃 lorsque c’est l’angle que 𝑧 forme dans le plan d’Argand avec l’axe réel positif.

Et il y a quelques points qui méritent d’être soulignés au sujet de cette définition. Premièrement, lorsque nous parlons de l’angle que 𝑧 forme avec l’axe réel positif dans le plan d’Argand, nous désignons en fait l’angle formé par la demi-droite partant de l’origine vers 𝑧 avec l’axe réel positif. Cependant, il est plus facile d’y penser simplement comme l’angle que fait 𝑧.

Ensuite, lorsque nous mesurons cet angle, il est positif lorsque nous le mesurons dans le sens des aiguilles d’une montre et négatif dans le sens contraire. Et comme pour tout angle mesuré de cette manière, il y aura plusieurs angles qui donneront la même valeur. Donc, pour contourner ceci, nous introduisons ce que nous appelons l’argument principal d’un nombre complexe. Nous disons que 𝜃 est l’argument principal de notre nombre complexe 𝑧 si lorsque mesuré en radians, 𝜃 est supérieur à moins 𝜋 et inférieur ou égal à 𝜋 ou si lorsque mesuré en degrés, 𝜃 est supérieur à moins 180 degrés et inférieur ou égal à 180 degrés.

Nous pouvons utiliser maintenant cette information pour trouver l’argument principal de notre nombre complexe 𝑧. Nous allons commencer par le représenter dans le plan d’Argand. Rappelez-vous que, dans le plan d’Argand, l’axe horizontal représente la partie réelle de notre nombre complexe et l’axe vertical représente sa partie imaginaire. Nous voulons représenter le nombre complexe 𝑧 égal à moins cinq plus neuf 𝑖 dans notre plan d’Argand.

Nous devons donc trouver les parties réelle et imaginaire de ce nombre. Et nous pouvons le faire car 𝑧 est donné sous sa forme algébrique. C’est la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. La partie réelle de 𝑧 sera égale à notre valeur 𝑎. C’est la constante toute seule, qui dans ce cas est moins cinq. Et la partie imaginaire de 𝑧 sera notre coefficient de 𝑖, qui dans ce cas est neuf. Nous pouvons utiliser ceci pour représenter 𝑧 dans notre plan d’Argand. Sa coordonnée horizontale devrait être moins cinq et sa coordonnée verticale devrait être neuf.

Maintenant, nous allons représenter l’argument principal de 𝑧 dans notre plan. Pour ce faire, nous commençons par relier l’origine à 𝑧 par une demi-droite. Rappelez-vous que l’argument de 𝑧 est la mesure de l’angle que forme cette demi-droite avec l’axe réel positif. L’angle 𝜃 que nous voulons trouver est celui représenté. Et nous pouvons voir que puisqu’il est mesuré dans le sens contraire aux aiguilles d’une montre, la valeur de 𝜃 sera positive.

Il y a en fait beaucoup de méthodes différentes que nous pouvons utiliser pour trouver cette valeur de 𝜃. Elles impliqueront toutes de la trigonométrie. La façon la plus simple est de le faire directement à partir de notre figure. Nous allons trouver la valeur de l’angle 𝛼. Nous pouvons trouver l’angle 𝛼 en construisant le triangle rectangle suivant. La hauteur de ce triangle rectangle est le module de la partie imaginaire de 𝑧, qui est neuf. Et la largeur de ce triangle rectangle est le module de la partie réelle de 𝑧. Il est égal à cinq. Ainsi, dans ce triangle rectangle, nous connaissons les longueurs des côtés opposé et adjacent à l’angle 𝛼. Et nous savons, en utilisant la trigonométrie dans un triangle rectangle, que la tangente de 𝛼 est égale à la longueur de son côté opposé divisée par la longueur de son côté adjacent.

Ainsi, dans notre cas, la tangente de 𝛼 est égale à neuf sur cinq. Et nous pouvons trouver la valeur de 𝛼 en prenant l’arc tangente des deux membres. 𝛼 est égal à l’arc tangente de neuf sur cinq. Et nous trouverons cette valeur en degrés. Nous obtenons que 𝛼 est égal à 60.945 etc. degrés. Nous pouvons enfin trouver la valeur de 𝜃 en regardant notre figure. Nous savons que l’angle 𝛼 plus l’angle 𝜃 forment un angle plat. Il va être égal à 180 degrés. Par conséquent, 𝜃 va être égal à 180 degrés moins 𝛼 ce qui nous donne après calcul 119.054 etc. en degrés.

Et la question veut que nous donnions notre résultat à deux décimales près. Donc, pour ce faire, nous regardons la troisième décimale qui est quatre, pour déterminer si nous devons arrondir au chiffre supérieur ou inférieur. Puisque quatre est inférieur à cinq, nous devons arrondir au chiffre inférieur. Et cela nous donne notre réponse finale. Par conséquent, nous avons pu trouver l’argument principal de 𝑧 égal à moins cinq plus neuf 𝑖 et arrondi à deux décimales près. Nous avons obtenu 119.05 degrés.

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