Vidéo : Qu’est-ce qui rend le nombre d’Euler Special 𝑒 si spécial ?

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Qu’est-ce qui rend le nombre d’Euler Special 𝑒 si spécial ?

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Transcription de vidéo

J’ai introduit quelques formules dérivées. Mais un élément très important que j’ai laissé de côté était les exponentielles. Donc ici, je veux parler des dérivées de fonctions comme deux puissance 𝑥, sept puissance 𝑥, et aussi pour montrer pourquoi 𝑒 puissance 𝑥 est sans doute le plus important des exponentielles.

Tout d’abord d’avoir une intuition, concentrons-nous sur la fonction deux à la puissance 𝑥. Et nous allons penser à cette entrée comme un temps, 𝑡, peut-être en jours, et la sortie, deux puissance 𝑡, comme la taille de la population. Peut-être d’une bande particulièrement fertile de 𝜋 créatures qui double chaque jour. Et en fait, au lieu de la taille de la population, qui pousse dans les sauts peu discrets avec chaque nouveau bébé 𝜋 créature. Imaginons peut-être que deux personnes sur 𝑡 représentent la masse totale de la population. Je pense que cela reflète mieux la continuité de cette fonction, n’est-ce pas ? Ainsi, par exemple, à l’instant 𝑡 égal à zéro, la masse totale est égale à deux et zéro égale à un, pour la masse d’une créature. À 𝑡 est égal à un jour, la population a augmenté à deux puissance un égal à deux masses de créature. Au jour 𝑡 est égal à deux, c’est 𝑡 au carré, ou quatre. Et en général, il ne cesse de doubler tous les jours.

Pour la dérivée, nous voulons d𝑀 d𝑡, le taux auquel cette masse de population augmente. Pensé comme une variation minuscule de la masse divisée par une variation minime du temps. Et commençons par penser au taux de variation sur une journée complète, disons entre le troisième et le quatrième jour. Eh bien, dans ce cas, il passe de huit à 16. Il s’agit donc de huit nouvelles masses de créatures ajoutées en une journée. Et remarquez que ce taux de croissance est égal à la taille de la population en début de journée. Entre le quatrième et le cinquième jour, il passe de 16 à 32. Soit 16 nouvelles masses de créatures par jour. Ce qui correspond encore à la taille de la population en début de journée. Et en général, ce taux de croissance sur une journée complète est égal à la taille de la population au début de la journée. Il pourrait donc être tentant de dire que cela signifie que la dérivée de deux puissance 𝑡 est égale à elle-même. Que le taux de variation de cette fonction à un instant donné 𝑡 est égal à bien la valeur de cette fonction. Et c’est bien dans la bonne direction, mais ce n’est pas tout à fait correct.

Nous faisons ici des comparaisons sur une journée complète. Compte tenu de la différence entre les deux de 𝑡 plus un et deux de 𝑡. Mais pour la dérivée, nous devons nous demander ce qui se passe pour des variations de plus en plus petits. Quelle est la croissance au cours d’un dixième de jour ? Un centième de jour ? Un milliardième de jour ? C’est pourquoi je pensais que la fonction représente la masse de la population. Comme il est logique de poser des questions sur une variation minime de masse en une fraction de journée. Mais il n’a pas beaucoup de sens de poser des questions sur la variation minime d’une taille de population distincte par seconde. Plus abstraitement, pour une petite variation dans le temps, d𝑡, nous voulons comprendre la différence entre deux à la puissance 𝑡 ainsi que d𝑡 et deux puissance 𝑡 tout divisé par d𝑡. Une variation de fonction par unité de temps. Mais maintenant, nous examinons très étroitement un moment donné plutôt que tout au long de la journée.

Et voici la chose. J’adorerais si une image géométrique très claire rendait tout ce qui était sur le point de suivre. Certains diagrammes où vous pouvez indiquer une valeur et dire : « Regardez ! Cette partie ! C’est la dérivée de deux puissance 𝑡 ». Et si vous en connaissez un, s’il vous plaît faites le moi savoir. Et comme le reste de la série, l’objectif ici est de maintenir un esprit de découverte espiègle. Le type de jeu qui suit aura plus à voir avec la recherche de régularités numériques que visuelles.

Alors, commencez simplement en prenant un regard très proche à ce terme, deux puissance 𝑡 ainsi que d𝑡. Une propriété essentielle de exponentielles est que vous pouvez briser ce comme deux à 𝑡 fois deux à la puissance d𝑡. C’est vraiment la propriété la plus importante des exposants. Si vous ajoutez deux valeurs à cet exposant, vous pouvez diviser la sortie en un produit quelconque. C’est ce qui vous permet de relier des idées additives, des choses comme des pas très rapides dans le temps, à des idées multiplicatives, des choses comme des taux et des ratios. Je veux dire, regardez ce qui se passe ici. Après ce mouvement, nous pouvons tenir le mandat de deux à 𝑡, qui est maintenant juste multiplié par deux puissance d𝑡 moins un tout divisé par d𝑡. Et rappelez-vous, la dérivée de deux puissance 𝑡 est tout cette expression toute approche comme d𝑡 se rapproche de zéro. Et à première vue, cela pourrait sembler être une manipulation sans importance. Mais un fait extrêmement important est que ce terme à droite, où tous les d𝑡 vie de choses, est complètement séparé du 𝑡 terme lui-même. Cela ne dépend pas du moment où nous avons commencé.

Vous pouvez utiliser une calculatrice et y insérer de très petites valeurs pour d𝑡. Par exemple, vous pouvez peut-être taper deux fois 0.001 moins un divisé par 0.001. Vous constaterez que pour les choix de plus en plus petits de d𝑡, cette valeur se rapproche d’un nombre très spécifique, autour de 0.6931. Ne vous inquiétez pas si ce nombre semble mystérieux. Le point central est qu’il s’agit d’une sorte de constante. Contrairement aux dérivées d’autres fonctions, tout ce qui dépend de d𝑡 est séparé de la valeur de 𝑡 elle-même. Donc, la dérivée de deux puissance 𝑡 est juste elle-même mais multipliée par une constante. Et cela devrait avoir un sens. Parce que, auparavant, il semblait que la dérivée pour deux puissance 𝑡 devrait être lui-même. Au moins, lorsque nous examinions les changements au cours d’une journée complète. Et évidemment, le taux de variation de cette fonction sur des échelles de temps beaucoup plus petites n’est pas tout à fait égal à lui-même. Mais elle est proportionnelle à elle-même, avec cette constante de proportionnalité très particulière de 0.6931.

Et il n’y a pas trop de particularité sur le numéro deux ici. Si au lieu de cela, nous avions traité la fonction trois de 𝑡. La propriété exponentielle nous aurait également amenés à conclure que la dérivée de trois puissance 𝑡 est proportionnelle à lui-même. Mais cette fois, il aurait eu une constante de proportionnalité de 1.0986. Et pour les autres bases de votre exposant, nous pouvons nous amuser à essayer de voir quelles sont les différentes constantes de proportionnalité. Peut-être voir si vous pouvez trouver un motif en eux. Par exemple, si vous connectez huit à la puissance d’un très petit nombre moins un et divisez par le même nombre. Vous constaterez que la constante de proportionnalité pertinente est d’environ 2.079. Et peut-être, vous remarquerez peut-être que ce nombre est exactement le triple de la constante associée à la base pour deux. Donc, ces nombres ne sont certainement pas aléatoires. Il y a une sorte de modèle, mais c’est quoi ? Qu’est-ce que deux ont à voir avec le nombre 0.6931 ? Et qu’est-ce que huit a à voir avec le nombre 2.079 ?

Eh bien, une deuxième question qui va finalement expliquer ces constantes mystères est de savoir s’il existe une base où cette constante de proportionnalité est une. Où la dérivée de 𝑎 à la puissance 𝑡 n’est pas seulement proportionnelle à elle-même, mais égale à elle-même. Et voici ! C’est la constante spéciale 𝑒, autour de 2.71828. En fait, il n’y a pas que le nombre 𝑒 qui apparaît ici. Ceci est, dans un sens, ce qui définit le nombre 𝑒. Si vous demandez pourquoi 𝑒, de tous les nombres, possède cette propriété. C’est un peu comme si on demandait pourquoi 𝜋, de tous les nombres, se trouve être le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. C’est en son cœur ce qui définit cette valeur. Toutes les fonctions exponentielles sont proportionnelles à leur propre dérivée. Mais 𝑒 seul est le nombre spécial, de sorte que cette constante de proportionnalité est un. Cela signifie que 𝑒 de 𝑡 est en fait égal à sa propre dérivée.

Une façon de penser à cela est que si vous regardez la courbe de 𝑒 de 𝑡. Il a la propriété particulière que la pente d’une droite tangente à un point quelconque de cette courbe est égale à la hauteur de ce point au-dessus de l’axe horizontal. L’existence d’une telle fonction répond à la question des constantes de mystère. Et c’est parce que cela donne une façon différente de penser les fonctions qui sont proportionnelles à leur propre dérivé. La clé consiste à utiliser la règle de la chaîne. Par exemple, quel est la dérivée de 𝑒 de trois 𝑡 ? Eh bien, vous prenez la dérivée de la fonction la plus externe, qui en raison de cette nature particulière de 𝑒 est juste lui-même. Et puis multiplier le résultat par la dérivée de cette fonction interne, trois 𝑡, qui est la constante, trois. Ou, plutôt que d’appliquer simplement une règle à l’aveuglette, vous pouvez prendre ce moment pour pratiquer l’intuition de la règle de chaîne dont j’ai parlé à travers la dernière vidéo. Penser à la façon dont un léger coup de pouce à 𝑡 change la valeur de trois 𝑡. Et comment ce changement intermédiaire décale la valeur finale de 𝑒 de trois 𝑡.

Quoi qu’il en soit, le point est, 𝑒 à la puissance une certaine constante fois 𝑡 est égal à ce même temps constant lui-même. Et à partir de là, la question de ces constantes mystérieuses se résume en réalité à une certaine manipulation algébrique. Le numéro deux peut également être écrit 𝑒 dans le logarithme naturel de deux. Il n’y a rien d’extraordinaire ici. Ceci est juste la définition du logarithme naturel. Il pose la question, 𝑒 puissance quoi égale deux. Ainsi, la fonction deux à la puissance 𝑡 est la même que la fonction 𝑒 à la puissance du logarithme naturel de deux fois 𝑡. Et de ce que nous venons de voir, en combinant les faits qui 𝑒 puissance 𝑡 est sa dérivée avec la règle de la chaîne. La dérivée de cette fonction est proportionnelle à elle-même, avec une constante de proportionnalité égale au logarithme naturel de deux. Et en effet, si vous branchez le logarithme naturel de deux sur une calculatrice, vous constaterez qu’il s’agit de 0.6931. La constante de mystère que nous avons rencontrée plus tôt.

Et il en va de même pour toutes les autres bases. La constante de proportionnalité mystère qui apparaît lors de la prise de dérivées n’est que le logarithme naturel de la base. La réponse à la question 𝑒 au quoi équivaut à cette base. En fait, tout au long du calcul des applications, vous voyez rarement exponentielles écrits comme une base pour une puissance 𝑡. Au lieu de cela, vous écrivez presque toujours l’exponentielle 𝑒 à la puissance une constante fois 𝑡. C’est équivalent. Je veux dire, toute fonction comme deux puissance 𝑡 ou trois à la puissance 𝑡 peut également être écrit 𝑒 à une constante fois 𝑡. Au risque de rester trop concentré sur les symboles ici, je tiens vraiment à souligner qu’il existe de très nombreuses façons d’écrire une fonction exponentielle particulière. Et quand vous voyez quelque chose d’écrit comme 𝑒 à une certaine constante fois 𝑡, c’est un choix que nous faisons pour l’écrire de cette façon. Et le nombre 𝑒 n’est pas fondamental à cette fonction elle-même. Ce qui est spécial dans l’écriture d’exponentielles en fonction de 𝑒, c’est qu’il donne à cette constante dans l’exposant un sens agréable et lisible.

Ici, laissez-moi vous montrer ce que je veux dire. Toutes sortes de phénomènes naturels impliquent un taux de variation proportionnel à ce qui change. Par exemple, le taux de croissance d’une population a tendance à être proportionnel à la taille de la population elle-même. En supposant qu’une ressource limitée ne ralentisse pas les choses. Et si vous mettez une tasse d’eau chaude dans une pièce fraîche. Le taux de refroidissement de l’eau est proportionnel à la différence de température entre la pièce et l’eau. Ou, dit un peu différemment, le taux auquel cette différence varie est proportionnel à lui-même. Si vous investissez votre argent, le taux de croissance de celui-ci est proportionnel au montant d’argent disponible à tout moment.

Dans tous ces cas, le taux de variation de certaines variables est proportionnel à lui-même. La fonction décrivant cette variable dans le temps va ressembler à une sorte d’exponentielle. Et même s’il existe de nombreuses façons d’écrire une fonction exponentielle. Il est très naturel de choisir d’exprimer ces fonctions comme 𝑒 à la puissance une constante fois 𝑡. Depuis cette constante porte une signification très naturelle. C’est la même chose que la constante de proportionnalité entre la taille de la variable changeante et le taux de variation.

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