Transcription de la vidéo
Déterminez l’ensemble solution de l’équation 𝑧 au carré est égal à deux plus deux racine trois 𝑖 dans l’ensemble des nombres complexes.
Pour trouver les valeurs de 𝑧 vérifiant cette équation, nous allons devoir appliquer la racine carrée aux deux membres. Maintenant, dans le membre de droite de notre équation, nous avons un nombre complexe. Il a une partie réelle égale à deux et une partie imaginaire égale à deux fois racine de trois. Pour trouver les racines de nombres complexes, nous savons que nous pouvons utiliser le théorème de Moivre. Le théorème de Moivre pour les racines indique que nous pouvons trouver la racine 𝑛ième d’un nombre complexe de la forme 𝑟 cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃 en calculant 𝑟 à la puissance un sur 𝑛 fois cosinus 𝜃 plus deux 𝜋 𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sinus 𝜃 plus deux 𝜋 𝑘 sur 𝑛, où 𝑘 prend les valeurs entières comprises entre zéro et 𝑛 moins un. Dans le cas de notre équation, nous avons dit que nous allons la résoudre en cherchant la racine carrée des deux membres. Nous allons donc poser que 𝑛 est égal à deux. Cela signifie que 𝑘 sera égal à zéro ou égal à un.
Mais nous remarquons ensuite que le nombre complexe figurant dans notre équation est écrit sous forme algébrique, plutôt que sous sa forme polaire. Représentons donc le nombre complexe deux plus deux racine de trois 𝑖 dans le plan d’Argand pour nous aider à le convertir. Puisque le nombre complexe a une partie réelle de deux et une partie imaginaire de deux fois racine de trois, nous le représentons par un point dont les coordonnées cartésiennes sont deux, deux fois racine de trois. Nous savons que 𝑟 est le module et c’est la longueur du segment qui relie ce point à l’origine. Nous pouvons utiliser la formule de calcul des distances pour trouver le module. Il s’agit donc pour nous de trouver la racine carrée de la somme des carrés des parties réelle et imaginaire. Voilà donc la racine carrée de deux au carré plus deux fois racine de trois au carré. Deux fois racine de trois au carré devient quatre fois trois, ce qui est 12. Nous obtenons donc la racine carrée de quatre plus 12. C’est la racine de 16, qui est bien sûr égale à quatre. La longueur du segment est de quatre unités et ainsi, le module 𝑟 de notre nombre complexe est égal à quatre.
Nous voulons ensuite trouver l’argument. Nous savons maintenant que l’argument est l’angle que ce segment de droite forme avec l’axe réel positif et mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Et donc, pour les nombres complexes représentés dans le premier quadrant, nous pouvons utiliser le rapport tangente. Dans ce cas, le côté opposé à l’angle 𝜃 a une mesure de deux fois racine de trois unités et le côté adjacent a une longueur de deux unités. Nous divisons aussi bien le numérateur que le dénominateur de cette fraction par deux. Et nous obtenons que tangente 𝜃 est égale à la racine carrée de trois. Nous connaissons maintenant en fait cette valeur. Nous savons que tangente 𝜋 sur trois radians est égal à la racine carrée de trois. Et donc l’argument 𝜃 est égal à 𝜋 sur trois. Et nous avons donc ainsi notre nombre complexe écrit sous forme polaire. C’est quatre cosinus 𝜋 sur trois plus 𝑖 sinus 𝜋 sur trois.
Nous sommes maintenant prêts pour appliquer le théorème de Moivre pour 𝑛 égal à deux. Le module est égal à quatre à la puissance un demi. Mais bien sûr, quatre à la puissance un demi est la racine carrée de quatre soit tout simplement deux. La forme générale de l’argument de notre solution est 𝜋 sur trois plus deux 𝜋𝑘 sur deux. Pour trouver les solutions exactes, nous allons remplacer dans cette expression 𝑘 par zéro et par un. Lorsque 𝑘 est égal à zéro, nous obtenons deux cosinus 𝜋 sur trois plus zéro sur deux plus 𝑖 sinus 𝜋 sur trois plus zéro sur deux. Mais bien sûr, 𝜋 sur trois plus zéro est tout simplement égal à 𝜋 sur trois. Notre numérateur est donc 𝜋 sur trois et nous devons maintenant le diviser par deux.
Lorsque nous le faisons, nous trouvons que la première solution de notre équation est deux fois cosinus 𝜋 sur six plus 𝑖 sinus 𝜋 sur six. Mais cosinus 𝜋 sur six est la racine de trois sur deux et sinus 𝜋 sur six est un demi et nous pouvons donc développer ces parenthèses. Deux fois la racine carrée de trois sur deux est la racine carrée de trois. Et deux fois un demi de 𝑖 est tout simplement 𝑖, et nous avons donc la première solution de notre équation. Pour trouver la seconde, nous allons remplacer 𝑘 par un dans la forme générale. Cette fois ci, nous obtenons l’argument 𝜋 sur trois plus deux 𝜋 sur deux. 𝜋 sur trois plus deux 𝜋 devient sept 𝜋 sur trois. Et quand on divise ensuite cela par deux, on obtient sept 𝜋 sur six. Et nous obtenons donc deux fois cosinus sept 𝜋 sur six plus 𝑖 sinus sept 𝜋 sur six.
Nous évaluons le cosinus sept 𝜋 sur six et nous obtenons moins racine de trois sur deux. De même, le sinus sept 𝜋 sur six est égal à moins un demi. Enfin, nous développons ces parenthèses, ce qui nous donne la deuxième solution de notre équation à savoir moins racine de trois moins 𝑖. Nous avons donc utilisé le théorème de Moivre pour résoudre l’équation. Nous écrivons ceci en utilisant les notations des ensembles comme indiqué. Et nous voyons ainsi que l’ensemble solution de notre équation dans l’ensemble des nombres complexes est l’ensemble comprenant les éléments racine de trois plus 𝑖 et moins racine de trois moins 𝑖.
