Transcription de la vidéo
Déterminez l'expression de la dérivée première de la fonction définie par 𝑦 égale à cinq 𝑥 au carré plus deux multiplié par neuf 𝑥 au cube plus six 𝑥 plus quatre.
Donc, avec ce type de question, la première chose que nous voulons faire est de chercher à développer les parenthèses. Et ceci avant que nous la dérivions. Donc, tout d’abord, nous avons cinq 𝑥 au carré multiplié par neuf 𝑥 au cube. Cela va nous donner 45𝑥 à la puissance cinq. C’est parce que si nous multiplions cinq et neuf, nous obtenons 45. Et puis, nous appliquons l’une des lois sur les exposants. En fait, si nous avons 𝑥 puissance 𝑎 multipliée par 𝑥 puissance 𝑏, nous avons donc les mêmes bases ici, alors nous ajoutons les exposants.
Donc, dans ce cas, nous avions 𝑥 carré multiplié par 𝑥 au cube. Nous ajoutons donc deux et trois, ce qui nous donne 𝑥 puissance cinq. Nous obtenons donc 45𝑥 puissance cinq. Ensuite, nous avons cinq 𝑥 au carré multiplié par six 𝑥, ce qui nous donne 30𝑥 au cube. Ensuite, cinq 𝑥 au carré multiplié par quatre nous donne 20𝑥 au carré.
Alors maintenant, ce que nous allons faire, c’est multiplier la deuxième parenthèse par le plus deux de la première parenthèse. Nous obtenons alors plus 18𝑥 au cube. Et c’est parce que nous avions deux multiplié par neuf 𝑥 au cube. Ensuite, plus 12𝑥 car nous avons deux multiplié par six 𝑥. Puis enfin, plus huit. Et c’est parce que nous avons deux multiplié par quatre.
Alors maintenant, nous avons la fonction sous cette forme. Ce que nous allons faire, c’est repérer les termes similaires. Mais les seuls termes similaires que nous avons sont les 𝑥 au cube. Nous avons donc 30𝑥 au cube et 18𝑥 au cube, ce qui nous donne 48𝑥 au cube. Nous avons alors 45𝑥 puissance cinq plus 48𝑥 au cube plus 20𝑥 au carré plus 12𝑥 plus huit.
Alors maintenant, ce que nous allons faire, c’est dériver cela pour trouver notre première dérivée. Notre premier terme sera donc 225𝑥 puissance quatre. Et rappelez-vous comment nous avons fait cela. Alors, comment nous dérivons. Ce que nous faisons, c’est que nous multiplions l’exposant par le coefficient. Nous avons donc cinq multiplié par 45, ce qui nous donne notre 225. Et puis, nous réduisons l’exposant de un, donc cinq moins un, ce qui nous donne quatre. Nous obtenons donc 225𝑥 puissance quatre.
Ensuite, en utilisant la même méthode, nous obtenons le deuxième terme, qui est 144𝑥 au carré. En effet, trois multiplié par 48 donne 144. Ensuite, nous réduisons la puissance ou l’exposant de trois à deux. Et puis, le terme suivant est 40𝑥. C’est parce que nous avons réduit l’exposant de un pour nous donner 𝑥, soit 𝑥 à la puissance un. Et nous avons multiplié deux par 20, ce qui nous donne notre 40. Enfin, le dernier terme est juste 12. Et c’est parce que si nous dérivons 12𝑥, nous obtenons juste 12, parce que si nous réduisons l’exposant sur 𝑥 de un à zéro, cela nous donne 𝑥 puissance zéro, qui n’est autre que un. Et si nous dérivons huit, nous obtenons juste zéro.
Nous pouvons donc dire que la dérivée première de la fonction 𝑦 est égale à cinq 𝑥 au carré plus deux multiplié par neuf 𝑥 au cube plus six 𝑥 plus quatre est 225𝑥 puissance quatre plus 144𝑥 au carré plus 40𝑥 plus 12.
