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Calculez la mesure de l’angle entre la droite d’équations 𝑥 égale un, 𝑦 égale deux et la droite d’équations 𝑦 égale moins un, 𝑧 égale zéro.
Dans cette question, on nous donne deux droites : la droite 𝑥 est égale à un, 𝑦 est égale à deux et la droite 𝑦 est égale à moins un et 𝑧 est égale à zéro. Et nous devons déterminer la mesure de l’angle entre ces deux droites.
Commençons donc par rappeler comment nous déterminons l’angle entre deux droites dans l’espace. Nous rappelons que si 𝜃 est l’angle entre deux droites 𝐿 un et 𝐿 deux avec des vecteurs directeurs 𝐝 un et 𝐝 deux, alors le cos de 𝜃 sera égal au produit scalaire de 𝐝 un et 𝐝 deux divisé par la norme de 𝐝 un fois la norme de 𝐝 deux. En d’autres termes, nous pouvons simplement trouver l’angle entre deux droites en trouvant l’angle entre leurs vecteurs directeurs.
Donc, pour répondre à cette question, nous allons devoir trouver les vecteurs directeurs des deux droites données. Commençons par trouver le vecteur directeur de la première droite. Il y a plusieurs façons de le faire. Le moyen le plus simple est de noter que 𝑥 reste constant à un et 𝑦 reste constant à deux. Cependant, 𝑧 peut prendre n’importe quelle valeur que nous voulons. Donc, pendant que nous avançons le long de notre droite, notre valeur de 𝑥 ne change pas et notre valeur de 𝑦 ne change pas. Ainsi, les composantes de 𝑥 et 𝑦 dans son vecteur directeur seront nulles. Nous pouvons écrire que 𝐝 un est le vecteur zéro, zéro, un.
Et bien sûr, nous pourrions prendre n’importe quel multiple scalaire de ce vecteur comme vecteur directeur de cette droite. Nous pouvons faire exactement la même chose pour déterminer le vecteur directeur de la deuxième droite. Cette fois, nos valeurs de 𝑦 et 𝑧 restent constantes en moins un et zéro, respectivement. Donc, seule la valeur de 𝑥 change. Cela signifie que le vecteur directeur 𝐝 deux de cette droite est le vecteur un, zéro, zéro.
Et à ce stade, il existe de nombreuses façons de répondre à cette question. Par exemple, nous pourrions calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs et leurs normes, et les substituer dans la formule. Cela fonctionnerait puisque nous pouvons calculer le produit scalaire des deux vecteurs en prenant la somme des produits des composantes correspondantes. Nous obtenons zéro fois un plus zéro fois zéro plus un fois zéro, ce qui est égal à zéro.
Nous voyons alors que le numérateur du membre droit de l’équation est juste zéro. Nous n’avons donc pas besoin de calculer la norme des deux vecteurs, bien que nous puissions voir que ceux-ci ont la norme un de toute façon. Par conséquent, puisque le membre droit de cette équation a le numérateur zéro, nous pouvons simplement écrire ceci par le cos de 𝜃 est nul. Nous pouvons alors résoudre cette équation pour déterminer 𝜃 en prenant la réciproque du cosinus des deux membres de l’équation. Et puisque la réciproque du cosinus de zéro est de 90 degrés, nous pouvons conclure que 𝜃 est de 90 degrés.
Il convient de noter que ce n’est pas la seule méthode que nous aurions pu utiliser pour répondre à cette question. Par exemple, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant sur nos deux vecteurs directeurs. Puisque notre première droite a seulement sa coordonnée 𝑧 variante, elle est parallèle à l’axe des 𝑧. De même, comme notre deuxième droite a seulement sa coordonnée 𝑥 variable, elle est parallèle à l’axe des 𝑥. Nous pouvons donc choisir les vecteurs directeurs de ces deux droites comme étant les vecteurs directeurs unitaires 𝐤 et 𝐢.
Ainsi, l’angle entre les deux droites est le même que l’angle entre ces deux vecteurs directeurs. Et bien sûr, nous savons que l’angle entre ces deux vecteurs directeurs est de 90 degrés, car il sera le même que l’angle entre deux des axes.
En utilisant l’une ou l’autre méthode, nous pouvons montrer que la mesure de l’angle entre la droite d’équations 𝑥 égale un, 𝑦 égale deux et la droite d’équations 𝑦 égale moins un, 𝑧 égale zéro est de 90 degrés.
