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Vidéo de question : Déterminer la valeur d’un terme dans une suite arithmétique Mathématiques

Déterminez 𝑎₄₅, de la suite arithmétique (18, 26, 34,…, 698), où 𝑛 ≥ 1.

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Transcription de vidéo

Trouvez 𝑎 indice 45, de la suite arithmétique 18, 26, 34, jusqu’à 698, où 𝑛 est supérieur ou égal à un.

Nous allons commencer par rappeler ce que nous entendons par une suite arithmétique. C’est une suite de nombres dans laquelle la différence entre un terme et le suivant est une constante. Dans cette question, nous cherchons à trouver 𝑎 indice 45. En d’autres termes, nous cherchons à trouver la valeur du 45ème terme de la suite. Maintenant, on a une méthode qui consiste à écrire les termes de la suite, en ajoutant la différence commune à chaque fois jusqu’à ce que nous atteignions le 45ème terme. Il y a deux raisons pour lesquelles cela pourrait être problématique. Premièrement, c’est une méthode très longue. Et deuxièmement, avec ce nombre de calculs, nous augmentons la probabilité de faire une erreur.

A lieu de faire cela, nous allons donc commencer par calculer le 𝑛ième terme de notre suite. C’est la règle qui nous permettra de trouver n’importe quel terme de notre suite étant donné le numéro du terme. Et il y a deux façons de calculer cela. Nous allons les examiner toutes les deux. La première consiste à utiliser une formule. Maintenant, on pourrait écrire celle-là de plusieurs façons. Mais nous allons l’écrire comme 𝑎 𝑛 égal à 𝑎 un plus 𝑛 moins un fois 𝑑. Maintenant, il est logique que 𝑎 un soit le premier terme, car 𝑛 est le nombre de termes. 𝑑, cependant, est la différence commune entre chaque terme.

Les trois premiers termes de notre suite sont 18, 26 et 34. Nous pouvons voir que le premier terme de notre suite est 18. Nous disons donc que 𝑎 un est 18. La différence commune est calculée en soustrayant chaque terme du terme précédent. 26 moins 18 donne huit. Et 34 moins 26 donne huit et ainsi de suite. La différence commune 𝑑 est donc de huit. En utilisant ce que nous savons dans notre formule, nous pouvons dire que 𝑎 𝑛 est égal à 18 plus 𝑛 moins un fois huit. La convention dicte généralement de mettre le huit devant le 𝑛 moins un. Et donc nous avons un 𝑛ième terme. C’est 𝑎 𝑛 égal à 18 plus huit fois 𝑛 moins un.

La question nous demande de trouver 𝑎 45. C’est le 45ème terme. On utilise donc 𝑛 égal à 45. Et nous trouvons que 𝑎 45 est 18 plus huit fois 45 moins un, soit 18 plus huit fois 44. Maintenant, huit fois quatre font 32. Donc, huit fois 40, c’est 320. 320 plus 32 est 352. Nous trouvons donc que 𝑎 45 est égal à 18 plus 352, ce qui est égal à 370. Et donc, en trouvant le 𝑛ième terme avec la formule 𝑎 𝑛 égal à 𝑎 un plus 𝑛 moins un 𝑑, nous avons trouvé le 45ème terme. 𝑎 45 est égal à 370.

Maintenant, la deuxième méthode adopte une approche légèrement différente. Nous commençons toujours par trouver la différence entre les termes. Et encore une fois, nous constatons que c’est huit. Cela ressemble un peu à la table de multiplication de huit. La première partie de notre 𝑛ième terme est donc huit 𝑛. Nous écrivons ensuite la table de huit au-dessus des termes de notre suite. Le premier terme est donc huit. Le second est 16. Et le troisième est 24.

Nous remarquons ensuite que pour passer de chaque terme de la table de huit à notre suite, nous devons ajouter 10. Donc, notre 𝑛ième terme, 𝑎 𝑛, est égal à huit 𝑛 plus 10. Encore une fois, nous utilisons 𝑛 égal 45 dans notre formule. Nous obtenons donc huit fois 45 plus 10. Et huit fois 45, c’est 360. Donc, 𝑎 45 c’est 360 plus 10, ce qui donne 370. Notez que nous avons exactement la même réponse en utilisant une méthode légèrement différente.

𝑎 indice 45 dans les deux cas est 370.

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