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Vidéo de la leçon: Droites parallèles et sécantes : autres relations Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer les relations d’angles entre deux droites parallèles et une sécante pour établir et utiliser d’autres relations entre les droites parallèles et les sécantes.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer les relations d’angles entre deux droites parallèles et une sécante pour établir et utiliser d’autres relations entre les droites parallèles et les sécantes. Il existe plusieurs utilisations des relations entre les angles des droites parallèles et des sécantes. L’utilisation la plus courante consiste à déterminer les mesures d’autres angles en utilisant des résultats tels que la superposition des angles alternes-internes. Cependant, il existe d’autres utilisations, telles que le fait de prouver des relations entre des sécantes de droites.

Avant d’appliquer cela, rappelons d’abord qu’une sécante d’une paire de droites parallèles aura des angles correspondants égaux. Ceci est un résultat utile, car on peut l’utiliser pour déterminer les angles entre deux droites en utilisant l’angle entre une droite et une droite parallèle. En particulier, si l’on a une droite 𝐴𝐵 qui est perpendiculaire à une autre droite 𝐸𝐹, alors on sait que toute droite parallèle à 𝐴𝐵 doit avoir un angle correspondant avec une mesure de 90 degrés. Cela nous fournit le résultat suivant. Si une droite est perpendiculaire à la droite 𝐴𝐵, alors elle est perpendiculaire à toute droite parallèle à la droite 𝐴𝐵. Ce n’est pas la seule propriété que l’on peut montrer en utilisant les propriétés des sécantes.

Rappelons qu’une sécante d’une paire de droites parallèles aura des angles correspondants égaux. On peut également rappeler que si les angles correspondants dans une sécante de deux droites sont superposables, alors ces droites sont parallèles. Par conséquent, si une sécante de deux droites est perpendiculaire aux deux droites, alors les droites doivent être parallèles, car elles ont des angles correspondants égaux. Cela nous donne la propriété suivante. Si deux droites sont perpendiculaires à la même droite, elles doivent être parallèles. Voyons maintenant un exemple d’application de ces propriétés pour déterminer les relations entre les droites.

Si la droite 𝐴𝐵 est parallèle à la droite 𝐶𝐷 et que la droite 𝐸𝐹 est perpendiculaire à la droite 𝐶𝐷, lequel des énoncés suivants est correct ? (A) Le segment EG coupe le segment AB en son milieu. (B) La droite 𝐴𝐵 est parallèle à la droite 𝐸𝐺. (C) La droite 𝐴𝐵 est perpendiculaire à la droite 𝐶𝐷. (D) La droite 𝐴𝐵 est perpendiculaire à la droite 𝐸𝐺. (E) Le segment 𝐸𝐹 coupe le segment CD en son milieu.

Commençons par ajouter que la droite 𝐸𝐹 étant perpendiculaire à la droite 𝐶𝐷 signifie que ces droites se coupent en formant un angle droit et que les droites 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont parallèles à notre figure. On peut alors utiliser les angles correspondants pour noter que la droite 𝐸𝐹 est perpendiculaire à la droite 𝐴𝐵. Cela montre que la droite 𝐴𝐵 est perpendiculaire à la droite 𝐸𝐺, ce que stipule la réponse (D). Cependant, il s’agit d’un cas particulier de la règle indiquant que si une droite est perpendiculaire à la droite 𝐿, alors elle est perpendiculaire à toute droite parallèle à 𝐿.

Il convient de noter que bien que la figure semble insinuer que la sécante couple les droites parallèles en leur milieu, cela n’est pas nécessairement le cas, puisque l’on peut appliquer une translation à la sécante et avoir l’image toujours perpendiculaire aux droites parallèles. On peut voir que la droite 𝐿 est perpendiculaire aux droites parallèles 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 et qu’elle n’est pas une bissectrice perpendiculaire d’aucune des deux droites. Ainsi, on ne peut pas conclure que le segment 𝐸𝐺 coupe le segment 𝐴𝐵 en son milieu ou qu’il coupe le segment CD en son milieu. Donc, les réponses (A) et (E) sont incorrectes. Par conséquent, la droite 𝐴𝐵 est perpendiculaire à la droite 𝐸𝐺, et la bonne réponse est l’option (D).

Avant de passer à notre exemple suivant, regardons une autre propriété utile. Considérons une paire de droites parallèles distinctes, 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷, et une autre paire de droites parallèles distinctes, 𝐶𝐷 et 𝐸𝐹. Il semble que les trois droites soient parallèles. On peut prouver que c’est le cas en traçant une perpendiculaire sécante à la droite 𝐸𝐹. En utilisant les angles correspondants, on peut montrer que les trois droites sont perpendiculaires à la sécante. Ensuite, on peut se rappeler que si deux droites sont perpendiculaires à la même droite, alors elles doivent être parallèles entre elles. Par conséquent, les trois droites sont parallèles.

Nous avons prouvé le résultat suivant. Si deux droites distinctes sont parallèles à une troisième droite distincte, alors les trois droites sont parallèles entre elles. Voyons maintenant un exemple d’utilisation de cette propriété pour déterminer la relation entre des droites données.

Complétez ce qui suit. Si la droite 𝐴𝐵 est parallèle à la droite 𝐶𝐷 et que la droite 𝐴𝐵 est parallèle à la droite 𝐸𝐹, alors la droite 𝐶𝐷 est quoi à la droite 𝐸𝐹.

Rappelons d’abord que si deux droites sont parallèles à la même droite, elles doivent être parallèles entre elles. Puisque les deux droites 𝐶𝐷 et 𝐸𝐹 sont parallèles à la même droite, 𝐴𝐵, les deux droites doivent être parallèles entre elles. Par conséquent, la réponse est que la droite 𝐶𝐷 est parallèle à la droite 𝐸𝐹, notée comme indiqué.

Il y a une dernière propriété que l’on veut montrer sur les sécantes des droites parallèles. Et on va introduire cette propriété avec un exemple.

Considérons la figure suivante, où 𝐿 un, 𝐿 deux et 𝐿 trois sont toutes parallèles et les longueurs des segments entre les droites parallèles sont comme indiqué. Sur la figure, il apparaît que si les longueurs des segments d’une sécante entre trois droites parallèles sont égales, alors les longueurs des segments de toute sécante entre trois droites parallèles seront égales. On peut le prouver en utilisant des triangles superposables.

Commençons par une sécante perpendiculaire qui est divisée en deux sections de longueur égale par les droites parallèles, comme indiqué. On peut noter que la mesure de l’angle 𝑀𝑁𝐿 est égale à la mesure de l’angle 𝑂𝑁𝑃, car ce sont des angles opposés par le sommet. On voit maintenant que le triangle 𝑂𝑁𝑃 et le triangle 𝑀𝑁𝐿 sont superposables selon le critère de deux angles et un côté. En particulier, cela signifie que 𝐿𝑁 est égal à 𝑁𝑃. Ainsi, l’autre sécante est également divisée en deux sections de longueur égale. On peut toujours ajouter une sécante perpendiculaire à ces droites. La preuve de ce résultat en général est donc très similaire.

On a démontré la propriété suivante. Si un groupe de droites parallèles divise une sécante en segments de longueur égale, alors ces droites divisent toute autre sécante en segments de longueur égale. Voyons maintenant quelques exemples d’utilisation de cette propriété pour déterminer la longueur d’une sécante entre des droites parallèles.

Si les droites 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 et 𝐸𝐹 sont toutes parallèles et que 𝐶𝐸 est égale à deux centimètres, déterminez 𝐴𝐸.

On peut voir sur la figure que nous avons trois droites parallèles et deux sécantes. On peut également voir que 𝐵𝐷 est égal à 𝐷𝐹. Ainsi, dans ce cas, les droites parallèles divisent l’une des sécantes en segments de même longueur. Rappelons que si un groupe de droites parallèles divise une sécante en segments de longueur égale, alors ces droites divisent toute autre sécante en segments de longueur égale. Par conséquent, elles diviseront l’autre sécante en sections de longueur égale. Ainsi, 𝐴𝐶 est égal à 𝐶𝐸, ce qui est égal à deux centimètres. On note que 𝐴𝐸 est égal à 𝐴𝐶 plus 𝐶𝐸. Donc 𝐴𝐸 est égal à deux centimètres plus deux centimètres, ce qui équivaut à quatre centimètres.

Dans notre dernier exemple, nous appliquerons plusieurs propriétés des sécantes de droites parallèles à un triangle dont le côté est coupé en son milieu par des droites parallèles.

Considérons le triangle 𝐴𝐵𝐶 et les droites 𝐴𝑀 et 𝐸𝐷, qui sont parallèles à la droite 𝐶𝐵. Déterminez la longueur du segment 𝐴𝐵. Déterminez la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶.

On nous donne trois droites parallèles et deux sécantes de ces droites. Rappelons alors que si un groupe de droites parallèles divise une sécante en segments de longueur égale, alors ces droites divisent toute autre sécante en segments de longueur égale. Puisque 𝐴𝐸 est égal à 𝐸𝐶, les segments de l’autre sécante doivent avoir la même longueur. Donc 𝐴𝐷 est égal à 𝐷𝐵, ce qui équivaut à cinq millimètres. Puisque 𝐴𝐵 est égal à 𝐴𝐷 plus 𝐷𝐵, alors 𝐴𝐵 est égal à cinq millimètres plus cinq millimètres, ce qui est égal à 10 millimètres. 𝐴𝐵 est égal à 10 millimètres.

Il apparaît sur la figure que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle. Cependant, on doit justifier pourquoi c’est le cas. On peut le faire en rappelant que si une droite est perpendiculaire à la droite 𝐿, alors elle est perpendiculaire à toute droite parallèle à 𝐿. Puisque la droite 𝐸𝐷 est perpendiculaire à la droite 𝐴𝐶 et que la droite 𝐸𝐷 est parallèle à la droite 𝐵𝐶, il faut que les droites 𝐵𝐶 et 𝐴𝐶 soient perpendiculaires. Cela signifie que l’angle à 𝐶 a une mesure de 90 degrés, donc 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle.

La somme des mesures des angles intérieurs dans un triangle est de 180 degrés. Donc, 180 degrés est égal à 35 degrés plus 90 degrés plus la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶. En réarrangeant l’équation, nous avons la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 est égal à 180 degrés moins 35 degrés moins 90 degrés, ce qui est égal à 55 degrés. Les réponses aux deux parties de cette question sont 10 millimètres et 55 degrés.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Si une droite est perpendiculaire à la droite 𝐴𝐵, alors elle est perpendiculaire à toute droite parallèle à la droite 𝐴𝐵. Si deux droites sont perpendiculaires à la même droite, elles doivent être parallèles entre elles. Si deux droites distinctes sont parallèles à une troisième droite distincte, alors les trois droites sont parallèles entre elles. Si un groupe de droites parallèles divise une sécante en segments de longueur égale, alors ces droites divisent toute autre sécante en segments de longueur égale.

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