Transcription de la vidéo
Déterminez l’intégrale du logarithme népérien de trois 𝑥 moins cinq par rapport à 𝑥.
On nous demande de déterminer une intégrale où notre intégrande est la composition de deux fonctions. Et il existe différentes façons d’aborder ce problème. Par exemple, nous pourrions essayer directement l’intégration par parties. Et cela fonctionnerait. Cependant, il existe une méthode plus simple. Puisque notre intégrande est la composition de deux fonctions, nous allons essayer d’intégrer cela en utilisant la substitution. Nous effectuons la substitution 𝑢 égale à trois 𝑥 moins cinq. Si 𝑢 est égal à trois 𝑥 moins cinq, nous dérivons les deux côtés par rapport à 𝑥. Nous obtenons 𝑑𝑢 sur d𝑥 égal au coefficient de 𝑥, qui est trois.
Et rappelez-vous, nous savons que 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥 n’est pas une fraction. Cependant, lorsque nous utilisons l’intégration par substitution, nous pouvons la traiter un peu comme une fraction. Cela nous donne une équation équivalente en termes de différentiels 𝑑𝑢 égal à trois 𝑑𝑥.
Nous sommes maintenant prêts pour utiliser notre substitution. Premièrement, nous avons trois 𝑥 moins cinq égal à 𝑢. Et en divisant par trois, nous voyons qu’un tiers de 𝑑𝑢 est égal à 𝑑𝑥. Cela nous donne l’intégrale du logarithme népérien de 𝑢 fois un tiers de 𝑑𝑢. Et maintenant, nous pouvons réorganiser cette équation et mettre le facteur un tiers en dehors de notre intégrale pour nous donner un tiers fois l’intégrale du logarithme népérien de 𝑢 par rapport à 𝑢. Et bien que nous ne connaissions pas nécessairement une primitive du logarithme népérien de 𝑢, nous savons que nous pouvons le trouver en utilisant l’intégration par parties.
Avant d’utiliser l’intégration par parties, rappelez-vous, qu’il s’agit d’une intégrale par rapport à 𝑢. Donc, nous ne pouvons pas appeler 𝑢 l’une de nos fonctions de l’intégration par parties. Donc, au lieu de cela, nous l’appellerons 𝑤. L’intégration par parties nous indique si 𝑤 et 𝑣 prime sont des fonctions de 𝑢, alors l’intégrale de 𝑤𝑣 prime par rapport à 𝑢 est égale à 𝑤 fois 𝑣 moins l’intégrale de 𝑣 fois 𝑤 prime par rapport à 𝑢.
Mais, mais il y a un problème qui pourrai nous inquiéter ici. Notre intégrande n’est pas le produit de deux fonctions. Cependant, nous pouvons résoudre ce problème en écrivant notre intégrande comme le logarithme népérien de 𝑢 le tout multiplié par un. Nous devons maintenant nous rappeler que lorsque nous utilisons l’intégration par parties, nous choisissons 𝑤 de sorte que lorsque nous la dérivons, nous obtenions quelque chose de plus simple. Et nous avons appris plusieurs façons de choisir cette fonction.
Par exemple, nous pourrions utiliser la méthode LIATE. Le L dans LIATE nous indique de choisir la fonction logarithmique. Donc, nous sommes censés choisir 𝑤 comme le logarithme népérien de 𝑢. Cependant, il n’est pas nécessaire d’appliquer ceci dans ce cas puisque nous devons intégrer notre fonction 𝑣 prime. Et nous avons déjà dit que nous ne savons pas comment intégrer directement le logarithme népérien de 𝑢. Nous devons donc choisir 𝑣 prime égal à un. Donc, nous allons mettre 𝑤 égal au logarithme népérien de 𝑢 et 𝑣 prime égal à un.
Pour utiliser l’intégration par parties, nous avons besoin des expressions de 𝑤 prime et 𝑣. Commençons par 𝑤 prime. 𝑤 prime sera la dérivée du logarithme népérien de 𝑢 par rapport à 𝑢. Nous savons que cela est égal à un sur 𝑢. Ensuite, pour trouver 𝑣, nous savons que l’intégrale de un par rapport à 𝑢 sera égale à 𝑢 plus une constante d’intégration. Nous avons juste besoin d’une primitive. Donc, nous allons tout simplement choisir 𝑢. Nous pouvons maintenant substituer les expressions de 𝑤, 𝑣, 𝑤 prime et 𝑣 prime dans notre expression pour l’intégration par parties.
Cela nous donne un tiers multiplié par le logarithme népérien de 𝑢 fois 𝑢 moins l’intégrale de 𝑢 multiplié par un sur 𝑢 par rapport à 𝑢. Et maintenant, nous pouvons commencer la simplification. Premièrement, dans notre intégrande, nous avons 𝑢 divisé par 𝑢. Ainsi, l’intégrande se simplifie pour nous donner un. Ainsi, avec quelques réarrangements, nous obtenons un tiers fois 𝑢 multiplié par le logarithme népérien de 𝑢 moins l’intégrale de un par rapport à 𝑢. Et nous savons que moins un multiplié par l’intégrale de un par rapport à 𝑢 serait moins 𝑢 plus une constante d’intégration.
Cependant, pour simplifier les choses, nous allons simplement écrire moins 𝑢 puis ajouter une constante d’intégration à la fin de notre expression. Cela nous donne un tiers fois 𝑢 multiplié par le logarithme népérien de 𝑢 moins 𝑢 plus notre constante d’intégration 𝐶. Nous pouvons continuer à simplifier notre réponse encore plus. Nous allons factoriser par 𝑢. Cela nous donne un tiers fois 𝑢 multiplié par le logarithme népérien de 𝑢 moins un plus notre constante d’intégration 𝐶.
Enfin, il faut se rappeler qu’il s’agit de l’expression d’une intégrale en fonction de 𝑥. Donc, nous devrions donner notre réponse en fonction de 𝑥. Pour ce faire, nous allons utiliser notre substitution 𝑢 est égal à trois 𝑥 moins cinq. Ainsi, en substituant 𝑢 par trois 𝑥 moins cinq, nous obtenons un tiers fois trois 𝑥 moins cinq multiplié par le logarithme népérien de trois 𝑥 moins cinq moins un plus 𝐶. Ainsi, en utilisant d’abord l’intégration par substitution puis l’intégration par parties, nous avons pu montrer l’intégrale du logarithme népérien de trois 𝑥 moins cinq par rapport à 𝑥 est égal à un tiers fois trois 𝑥 moins cinq multiplié par le logarithme népérien de trois 𝑥 moins cinq moins un plus 𝐶.
