Transcription de la vidéo
Calculez l’écart-type de la variable aléatoire 𝑥 dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous. Arrondissez la réponse au centième près.
On nous donne la loi de probabilité de cette variable aléatoire discrète sous forme d’un graphique. Afin de pouvoir répondre à la question, convertissons-le en tableau. Écrivons les valeurs prises par la variable aléatoire discrète sur la première ligne, puis leurs probabilités associées, qui sont les valeurs de 𝑓 de 𝑥, sur la deuxième ligne. Sur le graphique, les valeurs de l’ensemble image de cette variable aléatoire discrète sont les valeurs sur l’axe des 𝑥, qui sont un, deux, trois, quatre et cinq.
Les probabilités pour chacune de ces valeurs sont la hauteur de leur barre, qui est la valeur sur l’axe des 𝑦. Ainsi, par exemple, la probabilité que 𝑥 soit égal à un est de cinq douzièmes. La probabilité que 𝑥 soit égal à deux est de trois douzièmes. La probabilité que 𝑥 soit égal à trois est de deux douzièmes. Et enfin, les probabilités de quatre et de cinq sont chacune d’un douzième. Nous observons que la somme de ces probabilités est égale à un, ce qui est toujours le cas pour la somme de toutes les probabilités d’une loi de probabilités.
On nous demande de calculer l’écart-type de cette variable aléatoire discrète 𝑥, qui est une mesure de l’étalement de la loi de probabilité. L’écart-type se note à l’aide de la lettre grecque 𝜎, ou parfois 𝜎 indice 𝑥 s’il y a plusieurs variables dans le même problème. L’écart-type est égal à la racine carrée de la variance, qui s’écrit soit 𝜎 au carré, soit var de 𝑥.
La formule de calcul de la variance d’une variable aléatoire discrète est la suivante : elle est égale à l’espérance de 𝑥 au carré moins l’espérance de 𝑥 au carré. La différence de notation est importante ici. Dans le premier terme, on prend d’abord le carré des valeurs 𝑥, puis on calcule leur espérance ou moyenne, alors que pour le deuxième terme, on calcule l’espérance de 𝑥 puis on prend le carré de ce nombre. Il y a beaucoup de calculs à faire ici. Nous allons décomposer le calcul en plusieurs étapes.
Nous allons commencer par calculer l’espérance de 𝑥. Celle-ci est égale à la somme de chaque valeur prise par la variable aléatoire discrète multipliée par sa probabilité. Nous pouvons ajouter une ligne au tableau pour calculer ces valeurs. Nous avons d’abord un multiplié par cinq douzièmes, soit cinq douzièmes, puis deux multiplié par trois douzièmes, ce qui fait six douzièmes. Nous avons ensuite trois multiplié par deux douzièmes, ce qui fait également six douzièmes, quatre multiplié par un douzième, qui fait quatre douzièmes, et enfin cinq multiplié par un douzième, qui fait cinq douzièmes.
Certains de ces nombres peuvent se simplifier, mais nous les garderons tous avec un dénominateur commun de 12, car nous devons calculer leur somme. Nous avons cinq douzièmes plus six douzièmes plus six douzièmes plus quatre douzièmes plus cinq douzièmes. Soit 26 sur 12, ce qui se simplifie à 13 sur six. Nous avons donc trouvé l’espérance de 𝑥.
Ensuite, nous devons calculer l’espérance de 𝑥 au carré. La formule de cette espérance est la somme des valeurs de 𝑥 au carré multipliées par leur probabilité ; or, la loi de probabilité de 𝑥 au carré est directement issue de la loi de probabilité de 𝑥. Si les valeurs prises par la variable aléatoire discrète sont un, deux, trois, quatre et cinq, alors les valeurs prises par 𝑥 au carré sont les carrés de ces valeurs. C’est un, quatre, neuf, 16 et 25. Les probabilités de chacune de ces valeurs sont les mêmes que sur la deuxième ligne du tableau, car la probabilité que 𝑥 au carré soit égal à quatre, par exemple, est la même que la probabilité que 𝑥 soit égal à deux.
Nous allons donc ajouter une dernière ligne au tableau, dans laquelle nous multiplions les valeurs de 𝑥 au carré par leur valeur associée 𝑓 de 𝑥. Cela donne cinq douzièmes, douze douzièmes, dix-huit douzièmes, seize douzièmes et vingt-cinq douzièmes. Encore une fois, nous garderons pour chacune de ces valeurs son dénominateur 12 afin de pouvoir les additionner facilement. La somme de ces cinq valeurs est 76 sur 12, qui se simplifie à 19 sur trois.
Ensuite, nous calculons la variance de 𝑥, qui est égale à l’espérance de 𝑥 au carré — soit 19 sur trois — moins l’espérance de 𝑥, 13 sur six au carré. Nous pouvons utiliser une calculatrice pour ce calcul, ce qui donne 59 sur 36. La dernière étape consiste à prendre la racine carrée de cette valeur pour trouver l’écart-type. Donc 𝜎 est égal à la racine carrée de 59 sur 36, sont la forme décimale est 1.2801. On nous demande de répondre au centième près.
Ainsi, en écrivant sous forme de tableau la loi de probabilité présentée dans le graphique, puis en calculant la variance en plusieurs étapes, puis en prenant sa racine carrée, nous avons calculé que l’écart-type de cette variable aléatoire discrète 𝑥 au centième près vaut 1.28.
