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Vidéo de question : Calcul du rapport du nombre de moles d’un gaz parfait dans deux récipients Physique

Deux récipients de même volume contiennent le même gaz à la même pression. Dans le récipient 1, la température 𝑇₁ du gaz est de 350 K. Dans le récipient 2, la température 𝑇₂ du gaz est de 400 K. Quel est le rapport entre le nombre de moles du gaz 𝑛₂ dans le récipient 2 au nombre de moles du gaz, 𝑛₁, dans le récipient 1 ?

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Transcription de vidéo

Deux récipients de même volume contiennent le même gaz à la même pression. Dans le récipient 1, la température 𝑇 un du gaz est 350 kelvin. Dans le récipient 2, la température 𝑇 deux du gaz est de 400 kelvin. Quel est le rapport entre le nombre de moles du gaz, 𝑛 deux, dans le récipient 2, et le nombre de moles du gaz, 𝑛 un, dans le récipient 1 ?

Disons que ici, ce sont nos deux récipients. Et on nous dit qu’ils ont le même volume et contiennent le même gaz. Le nombre de moles du gaz dans le récipient 2 est 𝑛 deux, et le nombre de moles du gaz dans le récipient 1 est 𝑛 un. Nous voulons résoudre le rapport 𝑛 deux sur 𝑛 un.

Pour nous aider, nous allons traiter le gaz de nos deux récipients comme un gaz parfait. Cela signifie que nous pouvons décrire le gaz en utilisant la loi des gaz parfaits, écrite en fonction du nombre de moles de gaz. Cette loi nous dit que la pression d’un gaz parfait multipliée par son volume est égale au nombre de moles du gaz multiplié par une constante multipliée par la température du gaz. Nous pouvons écrire une expression de la loi des gaz parfaits pour le gaz dans le récipient 1 et une autre expression distincte pour le gaz dans le récipient 2.

Pour le gaz dans le récipient 1, la pression 𝑃 un fois le volume 𝑉 un est égale au nombre de moles du gaz 𝑛 un fois la constante des gaz 𝑅 multipliée par la température du gaz 𝑇 un. 𝑅, appelée constante des gaz parfaits, est en effet une constante. C’est pourquoi elle n’a pas d’indice dans cette équation. Elle a toujours la même valeur, quel que soit le gaz parfait considéré. Voici donc notre équation pour le gaz dans le récipient 1.

Et maintenant, nous pouvons écrire une expression similaire pour le gaz dans le récipient 2. Nous pouvons écrire que la pression de ce gaz 𝑃 deux fois son volume 𝑉 deux est égale au nombre de moles du gaz dans le récipient 2, 𝑛 deux, fois 𝑅 fois la température 𝑇 deux. Puisque nous voulons déterminer le rapport 𝑛 deux divisé par 𝑛 un, nous pouvons travailler pour que 𝑛 un soit le sujet de cette équation et 𝑛 deux le sujet de celle-ci.

En commençant par notre première équation, nous divisons les deux côtés par la constante molaire des gaz 𝑅 multipliée par la température 𝑇 un. Cela signifie que ces deux facteurs s’annulent tous les deux du côté droit. Nous trouvons que 𝑛 un est égal à 𝑃 un fois 𝑉 un divisé par 𝑅 fois 𝑇 un. Faisons maintenant la même chose avec notre deuxième équation. Afin d’isoler 𝑛 deux, nous allons diviser les deux côtés par 𝑅 fois 𝑇 deux. Cela provoque l’annulation de ces facteurs à droite. Et nous trouvons que 𝑛 deux égale 𝑃 deux fois 𝑉 deux divisé par 𝑅 fois 𝑇 deux.

En dégageant de l’espace pour travailler à l’écran, prenons maintenant ces expressions pour 𝑛 un et 𝑛 deux et les insérons dans ce rapport. Ce faisant, nous obtenons cette fraction. Et si nous multiplions le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 𝑅 fois 𝑇 un, notez qu’au dénominateur, ces deux facteurs s’annuleront. Au numérateur, en revanche, la constante des gaz parfait 𝑅 s’annule, mais les températures restent. Nous obtenons alors cette expression. Et si nous multiplions maintenant le numérateur et le dénominateur par un divisé par 𝑃 un fois 𝑉 un, alors au dénominateur, 𝑃 un et 𝑉 un s’annulent. Notre fraction se simplifie en 𝑃 deux fois 𝑉 deux fois 𝑇 un divisé par 𝑃 un fois 𝑉 un fois 𝑇 deux. Notez que nous pouvons écrire cette fraction comme des rapports essentiellement distincts de pression, de volume et de température dans nos deux récipients.

Rappelons maintenant que nos deux récipients ont le même volume et qu’ils contiennent du gaz à la même pression. Cela signifie que 𝑉 un, le volume du récipient 1, est égal au volume du récipient 2, 𝑉 deux. Et donc, 𝑉 deux divisé par 𝑉 un est égal à un. De même, la pression 𝑃 un est égale à la pression 𝑃 deux. Et donc, 𝑃 deux divisé par 𝑃 un vaut aussi un. Notre rapport de moles se résume alors en réalité au rapport des températures dans les récipients.

On nous dit que la température 𝑇 un du gaz dans le récipient 1 est de 350 kelvin, tandis que la température du gaz dans le récipient 2 est de 400 kelvin. Notez que dans ce rapport, les unités kelvin s’annuleront au numérateur et au dénominateur. Écrit sous forme décimale, 350 divisé par 400 est égale à 0,875. Il s’agit du rapport entre le nombre de moles du gaz, 𝑛 deux, dans le récipient 2, et le nombre de moles du gaz, 𝑛 un, dans le récipient 1.

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