Transcription de la vidéo
Utilisez les matrices pour résoudre le système d’équations suivant trois 𝑥 plus quatre 𝑦 égale 20 et deux 𝑥 plus deux 𝑦 égale 12.
En raison de la façon dont nous multiplions les matrices en utilisant le produit scalaire des lignes et des colonnes, nous pouvons utiliser des matrices pour représenter un système d’équations linéaires. Nous prenons les coefficients de 𝑥 et 𝑦 dans notre paire d’équations. Nous formons une équation matricielle comme indiqué. Soit trois, quatre, deux, deux fois 𝑥, 𝑦 est égal à 20, 12. Si vous n’êtes toujours pas convaincu que cela représente la même chose, regardons ce qui se passe si nous multiplions les matrices.
Nous prenons le produit scalaire de la première ligne de la première matrice et de la colonne 𝑥, 𝑦. Nous obtenons trois fois 𝑥 plus quatre fois 𝑦. Voilà les trois 𝑥 plus quatre 𝑦 que nous recherchons. Nous prenons ensuite le produit scalaire de la deuxième ligne de la première matrice et la colonne 𝑥, 𝑦. Nous obtenons deux fois 𝑥 plus deux fois 𝑦, ce qui donne deux 𝑥 plus deux 𝑦. Ainsi, nous avons ces deux matrices qui sont égales : trois 𝑥 plus quatre 𝑦, deux 𝑥 plus deux 𝑦 est égal à 20, 12. Nous savons que pour que les matrices soient égales, leurs composantes individuelles doivent être égales. Ainsi, nous revenons à notre ensemble d’équations linéaires d’origine.
Revenons à notre objectif. Comment cette première démarche nous facilite-t-elle la tâche ? Bien, appelons la matrice trois, quatre, deux, deux, la matrice 𝐴. Nous savons que le produit de l’inverse d’une matrice et de la matrice d’origine donne la matrice identité. Ainsi, si nous pouvons multiplier les deux côtés de notre équation matricielle par l’inverse de 𝐴, nous nous retrouverons avec la solution pour 𝑥, 𝑦. La multiplication du côté gauche par l’inverse de 𝐴 nous laisse avec la matrice identité multipliée par 𝑥, 𝑦, qui est juste 𝑥, 𝑦. Sur le côté droit, nous aurons l’inverse de 𝐴 multiplié par 20, 12. Alors, trouvons l’inverse de 𝐴.
Si nous avons une matrice deux deux donnée par 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, son inverse est un sur le déterminant de 𝐴 multiplié par 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎. Le déterminant de 𝐴 est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Maintenant, il devrait être assez clair que si le déterminant de 𝐴 est égal à zéro, l’inverse n’existe pas. En effet, nous multiplierions une matrice par un sur zéro, ce qui est impossible. Commençons donc par trouver le déterminant de notre matrice 𝐴.
Nous multiplions les éléments en haut à gauche et en bas à droite, puis soustrayons le produit des éléments en haut à droite et en bas à gauche. Ainsi, nous obtenons trois fois deux moins quatre fois deux, ce qui donne moins deux. L’inverse de 𝐴 est un sur le déterminant multiplié par une matrice. Bien, un sur moins deux est moins un demi. Ensuite, la matrice qui nous intéresse est obtenue en commutant les éléments en haut à gauche et en bas à droite. Ainsi, nous changeons les deux et les trois. Nous changeons le signe des deux autres éléments. Nous obtenons moins quatre et moins deux. L’inverse de 𝐴 est donc moins un demi multiplié par deux, moins quatre, moins deux, trois.
Il est logique de multiplier chaque élément par moins un demi. Cela facilitera la prochaine étape. Moins un demi multiplié par deux donne moins un. Moins un demi multiplié par moins quatre donne deux. Moins un demi multiplié par moins deux donne un. Moins un demi multiplié par trois donne moins trois sur deux. Maintenant que nous connaissons l’inverse de 𝐴, nous pouvons revenir à notre équation matricielle.
Ainsi, 𝑥, 𝑦 est égal à moins un, deux, un, moins trois sur deux multiplié par 20, 12. Pour trouver le premier élément de la solution, nous allons trouver le produit scalaire de la première ligne de la première matrice et de la colonne 20, 12. Cela donne moins un fois 20 plus deux fois 12, ce qui est égal à quatre. Nous répétons ce processus pour la deuxième ligne. Cela donne un fois 20 plus moins trois sur deux fois 12, ce qui est égal à deux. Ainsi, nous savons que 𝑥, 𝑦 est égal à quatre, deux. Maintenant, pour que ces matrices soient égales, leurs composantes individuelles doivent être égales. Ainsi, nous dirions que 𝑥 est égal à quatre et 𝑦 est égal à deux sont les solutions de notre système d’équations.
Maintenant, il est toujours judicieux de résoudre nos systèmes d’équations en les remplaçant dans les équations d’origine. Remplaçons 𝑥 égale quatre et 𝑦 égale deux dans notre première expression. Soit trois 𝑥 plus quatre 𝑦. Nous obtenons trois fois quatre plus quatre fois deux, soit 20, comme prévu. De même, deux fois quatre plus deux fois deux font 12, ce qui est également ce que nous recherchions. Ainsi, nous avons utilisé des matrices pour résoudre notre système d’équations linéaires. Nous avons 𝑥, 𝑦 est égal à quatre, deux ou 𝑥 est égal à quatre, 𝑦 est égal à deux.
