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Vidéo de la leçon: Factorisation des trinômes Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à factoriser des trinômes en un produit de deux binômes.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à factoriser des trinômes en un produit de deux binômes.

Commençons par rappeler les définitions des monômes, des binômes et des trinômes. Un monôme est un produit de nombres et de variables élevées à une puissance. Un binôme est la somme ou la différence de deux monômes. Un trinôme est la somme ou la différence de trois monômes. Un exemple de monôme est moins cinq 𝑥 au carré 𝑦. Un exemple de binôme est trois 𝑥 au carré plus sept. Un exemple de trinôme est deux 𝑎 au carré moins deux 𝑎𝑏 plus trois 𝑏.

Lorsque nous écrivons les facteurs d’un nombre, nous pouvons écrire le nombre comme un produit de ses facteurs. Par exemple, nous pouvons écrire 20 égal à deux multiplié par 10. Le même principe s’applique lorsque nous factorisons les expressions algébriques. L’objectif de cette vidéo est d’écrire les trinômes comme le produit de deux binômes.

En général, lorsque nous multiplions deux binômes, nous obtenons initialement quatre termes, créés en multipliant chaque terme dans un binôme par chaque terme dans l’autre. Si les deux binômes ont la même structure algébrique, alors nous pouvons regrouper deux termes semblables, conduisant à un trinôme. Chacun des exemples que nous considérons dans cette vidéo est de ce type. Nous montrons d’abord le processus de la factorisation d’une expression avec un terme binomial commun qui est déjà sous une forme partiellement factorisée.

Factorisez l’expression 𝑥 fois 𝑥 plus trois plus deux fois 𝑥 plus trois.

En examinant l’expression de plus près, nous observons que ses deux parties possèdent un facteur binomial commun de 𝑥 plus trois. Nous pouvons donc factoriser par ce binôme commun. Dans la première partie de l’expression, ce binôme est multiplié par 𝑥. Et dans la seconde partie, il est multiplié par deux. Ainsi, au total, le binôme est multiplié par 𝑥 plus deux. Et donc, 𝑥 fois 𝑥 plus trois plus deux fois 𝑥 plus trois est égal à 𝑥 plus deux fois 𝑥 plus trois. Cette expression ne peut pas être factorisée davantage car les deux termes de chaque binôme ne possèdent aucun facteur commun autre que un.

Examinons maintenant comment factoriser une expression du second degré de la forme 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 dans le produit de deux binômes. La factorisation est l’opération inverse de la distributivité ou du développement des parenthèses. Considérons le développement du produit des binômes 𝑥 plus trois et 𝑥 plus cinq. Commençons par distribuer la première parenthèse par la seconde, ce qui nous donne 𝑥 fois 𝑥 plus cinq plus trois fois 𝑥 plus cinq. En distribuant chaque parenthèse, nous obtenons 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 plus trois 𝑥 plus 15. Et en regroupant les termes semblables, cela se simplifie en 𝑥 au carré plus huit 𝑥 plus 15.

Nous pouvons observer que le terme constant dans le trinôme est le produit d’un terme constant dans les deux binômes. 15 est égal à trois multiplié par cinq. Le coefficient de 𝑥 dans le trinôme est la somme des termes constants dans les deux binômes. Huit est égal à trois plus cinq. Et dans l’avant-dernière ligne de notre solution, le terme contenant 𝑥 s’écrit comme la somme de deux termes avec ces coefficients, cinq 𝑥 plus trois 𝑥. Cela implique un processus que nous pouvons suivre pour travailler dans le sens opposé et factoriser une expression du second degré développée de la forme 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 en un produit de deux binômes. Il est important de noter que nous ne pouvons pas factoriser toutes les expressions du second degré de cette forme, alors le processus suivant ne s’applique qu’à celles qui peuvent être factorisées.

Tout d’abord, on écrit toutes les paires de facteurs de la constante 𝑐. Si 𝑐 est positive, les deux nombres auront le même signe, tandis que si 𝑐 est négative, les deux nombres auront des signes contraires. Trouvez une paire de facteurs qui, avec les combinaisons correctes de signes, s’additionnent pour donner le coefficient de 𝑥, c’est-à-dire 𝑏. Réécrivez le terme du milieu dans le trinôme comme la somme de deux termes avec des coefficients qui sont égaux à la paire de facteurs trouvée. Réduisez la nouvelle expression à quatre termes en deux binômes et factorisez chacun. Trouvez un facteur binomial commun pour factoriser l’expression entière. Dans notre prochain exemple, nous allons montrer ce processus de factorisation d’une expression du second degré de la forme 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐.

Factorisez 𝑥 au carré moins huit 𝑥 moins 20.

Pour factoriser cette expression du second degré, il faut l’écrire sous forme de produit de deux binômes. Nous ferons cela en réécrivant d’abord le terme du milieu comme la somme de deux termes avec des coefficients dont la somme est le coefficient de 𝑥 et dont le produit est le terme constant. Nous considérons d’abord les paires de facteurs de 20. Comme le produit des deux nombres doit être moins 20, les deux nombres doivent avoir des signes différents. Si nous choisissons la deuxième paire de facteurs de deux et 10 en posant le deux comme étant positif et le 10 comme étant négatif, alors la somme de ces deux nombres sera deux plus moins 10, ce qui est égal à moins huit comme demandé.

Ensuite, nous réécrivons le trinôme avec le terme du milieu exprimé comme la somme de deux termes avec des coefficients de deux et moins 10, c’est-à-dire 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 10 𝑥 moins 20. En réduisant cette expression de quatre termes en deux binômes et en la factorisant, on obtient 𝑥 multiplié par 𝑥 plus deux moins 10 multiplié par 𝑥 plus deux. Enfin, nous factorisons toute l’expression par le facteur binomial commun de 𝑥 plus deux pour donner 𝑥 plus deux multiplié par 𝑥 moins 10. C’est la forme entièrement factorisée de 𝑥 carré moins huit 𝑥 moins 20.

Nous avons vu dans cet exemple comment factoriser les expressions du second degré de la forme 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 en un produit de deux binômes. Les expressions du second degré dans lesquelles le coefficient de 𝑥 au carré est égal à un, sont appelées des expressions du second degré unitaires. Nous allons maintenant examiner le cas plus général de la factorisation d’une expression du second degré non unitaire de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, où 𝑎 n’est pas égal à zéro, un ou moins un. Nous allons montrer ce processus à l’aide d’un exemple.

Considérons le produit des binômes trois 𝑥 moins deux et deux 𝑥 plus cinq.

En utilisant la propriété de la distributivité, nous avons trois 𝑥 fois deux 𝑥 plus cinq moins deux fois deux 𝑥 plus cinq, ce qui se simplifie en six 𝑥 carré plus 15𝑥 moins quatre 𝑥 moins 10 et ensuite en six 𝑥 carré plus 11𝑥 moins 10. Maintenant, considérons le sens opposé, c’est-à-dire exprimer le trinôme six 𝑥 au carré plus 11𝑥 moins 10 comme un produit de deux binômes. Nous observons que dans la première ligne de notre travail, les deux parties de l’expression avaient un facteur binomial commun de deux 𝑥 plus cinq.

Pour travailler dans l’autre sens, nous devons d’abord réécrire un trinôme sous forme d’expression impliquant quatre termes afin de pouvoir ensuite réduire l’expression résultante en une expression contenant deux binômes et factoriser chacun séparément. Nous commençons par chercher deux nombres dont la somme est le coefficient de 𝑥, ce qui est 11 dans cet exemple, et dont le produit est égal au produit du coefficient de 𝑥 au carré et du terme constant, il s’agit ici de six fois moins 10, ce qui est égal à moins 60. Ces deux nombres sont 15 et moins quatre. Nous réécrivons ensuite le trinôme sous forme d’expression à quatre termes, en divisant le terme 𝑥 en la somme de deux termes avec ces coefficients.

Ensuite, nous réduisons cette expression en deux binômes et factorisons chaque binôme séparément, ce qui nous donne trois 𝑥 fois deux 𝑥 plus cinq moins deux fois deux 𝑥 plus cinq. Cela nous donne un facteur binomial commun de deux 𝑥 plus cinq, qui peut ensuite être factorisé pour obtenir notre solution deux 𝑥 plus cinq fois trois 𝑥 moins deux. Cette méthode de factorisation est le processus inverse du développement des parenthèses que nous voyons sur le côté droit de l’écran. La méthode de factorisation d’une expression du second degré unitaire que nous avons abordé plus tôt est, en fait, un cas spécial de cette méthode, dans laquelle le produit de 𝑎 et 𝑐 est égal à 𝑐 parce que 𝑎 est égal à un.

Les exemples que nous avons considérés jusqu’à présent ont traité des trinômes impliquant une seule variable. Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment factoriser un trinôme impliquant deux variables.

Factorisez complètement 48𝑚 à la puissance quatre plus 48𝑚 au carré 𝑛 moins 15𝑛 au carré.

Nous commençons par observer que les coefficients des trois termes sont des multiples de trois. Par conséquent, nous pouvons factoriser le trinôme entier par trois, ce qui nous donne trois fois 16𝑚 à la puissance quatre plus 16𝑚 au carré 𝑛 moins cinq 𝑛 au carré. Considérons maintenant la structure du trinôme. Le premier terme implique 𝑚 à la puissance quatre, ce qui est égal à 𝑚 au carré le tout au carré. Et le troisième terme implique 𝑛 au carré. Le terme du milieu implique un produit de 𝑚 au carré et 𝑛. Cela implique que la forme factorisée du trinôme est 𝐴𝑚 au carré plus 𝐵𝑛 fois 𝐶𝑚 au carré plus 𝐷𝑛, pour des valeurs de 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 à déterminer.

Nous devons maintenant trouver deux nombres dont la somme est égale au coefficient de 𝑚 au carré 𝑛, dans ce cas, il s’agit de 16, et dont le produit est égal au produit des coefficients des premier et dernier termes. 16 fois moins cinq est égal à moins 80. Les paires de facteurs de 80 sont les suivantes. Comme le produit devrait être moins 80, nous avons besoin d’une paire de facteurs avec des signes contraires tels que leur somme soit égale à 16. La bonne paire est 20 et moins quatre. En réécrivant le deuxième terme du trinôme comme la somme de deux termes avec ces coefficients, on obtient 16𝑚 à la puissance quatre plus 20𝑚 au carré 𝑛 moins quatre 𝑚 au carré 𝑛 moins cinq 𝑛 au carré.

En réduisant cette expression de quatre termes en deux binômes et en factorisant chacun séparément, on obtient quatre 𝑚 au carré fois quatre 𝑚 au carré plus cinq 𝑛 moins 𝑛 fois quatre 𝑚 au carré plus cinq 𝑛. Donc, la forme entièrement factorisée du trinôme est trois fois quatre 𝑚 au carré moins 𝑛 fois quatre 𝑚 au carré plus cinq 𝑛.

Terminons maintenant en résumant les points clés de cette vidéo.

Pour factoriser une expression du second degré non unitaire de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, où 𝑎 n’égale pas zéro, un ou moins un, nous effectuons les étapes suivantes. Écrire les paires de facteurs de 𝑎𝑐. Trouver une paire de facteurs qui, avec la bonne combinaison de signes, ont une somme égale au coefficient de 𝑥, en notant que si 𝑎𝑐 est positif, les deux nombres auront le même signe, alors que si 𝑎𝑐 est négatif, les deux nombres auront des signes contraires. Réécrire le terme du milieu dans le trinôme comme la somme des termes avec des coefficients égaux à la paire de facteurs trouvée. Réduire la nouvelle expression à quatre termes en deux binômes et factoriser chacun. Trouver un facteur binomial commun pour factoriser l’expression entière.

La factorisation des expressions du second degré unitaires de la forme 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est un cas particulier de ce qui précède, où 𝑎 est égal à un. Et par conséquent, 𝑎𝑐 est égal à 𝑐. Pour factoriser un trinôme à deux variables, il faut considérer d’abord sa structure et identifier la structure des facteurs binomiaux. Les coefficients peuvent être trouvés en utilisant la même méthode utilisée pour les expressions du second degré non unitaires. Notez que certains trinômes peuvent être factoriser en le produit de plus de deux termes en supprimant d’abord un facteur commun.

Bien que nous ne l’abordions pas dans cette vidéo, les techniques que nous avons rencontrées ici peuvent être appliquées à des problèmes dans d’autres domaines des mathématiques, tels que la géométrie ou à des problèmes du monde réel.

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