Transcription de la vidéo
La population d’une ville était d’un tiers de million en 2010 et de cinq millions en 2016. La population peut être décrite par une suite arithmétique. Déterminez l’équation linéaire pour la population 𝑝 en millions, et en fonction du nombre d’années 𝑛 sachant que la croissance est constante et où 𝑛 = 1 correspond à 2010.
Donc, ici, on nous dit que nous avons affaire à une suite arithmétique. Alors, qu’est-ce que cela signifie ? Eh bien, une suite arithmétique est une suite où il existe une différence commune entre chacun de nos termes. Et si nous examinons une suite arithmétique, nous avons une forme générale pour chaque terme. C’est-à-dire que si nous avons 𝑎 indice 𝑛, c’est égal à 𝑎 plus 𝑛 moins un fois 𝑑. Où 𝑛 est notre nombre de termes, 𝑎 est le premier terme et 𝑑 est la différence ou constante commune.
Très bien ! Nous avons donc cette forme générale. Nous savons ce qu’est une suite arithmétique. Il s’agit d’une suite avec une différence ou constante commune entre chaque terme. Mais comment pouvons-nous utiliser ceci pour résoudre le problème ? Nous allons examiner les informations dont nous disposons. Tout d’abord, on nous dit quelle est la population de la première année, donc de 2010. Et nous savons que c’est la première année parce qu’il est dit que 𝑛 est égal à un.
Donc, cela signifie que 𝑝 indice un va être égal à un tiers. Et c’est parce qu’on nous dit que la population en 2010 est d’un tiers de million. Et parce que nous avons affaire à des millions de personnes, nous n’avons pas besoin d’écrire le million. Nous pouvons simplement écrire 𝑝 indice un égale un tiers. Il convient de noter que c’est en fait le même que notre 𝑎 dans notre forme générale.
Ensuite, on nous dit que la population est de cinq millions d’habitants en 2016. Eh bien, il s’agit de 𝑝 indice sept parce qu’il s’agit du septième terme. Donc, nous pouvons dire que 𝑝 indice sept est égal à cinq. Par conséquent, ce que nous pouvons faire, c’est substituer nos valeurs dans la forme générale pour trouver 𝑑, notre différence ou constante commune.
Quand nous faisons cela, nous obtenons que cinq est égal à un tiers plus sept moins un fois 𝑑. Donc, cela va nous donner cinq égale un tiers plus six 𝑑. Alors, ensuite, ce que nous allons faire, c’est soustraire un tiers de chaque côté de l’équation. Pour ce faire, je vais convertir cinq en tiers. Cinq vaut quinze tiers. Si cinq vaut quinze tiers et que nous soustrayons un tiers, il nous reste quatorze tiers. Nous avons donc quatorze tiers égale six 𝑑.
Si nous divisons par six, nous allons obtenir 14 sur 18 égale 𝑑. Et si nous réfléchissons à la façon dont cela a fonctionné, eh bien, si nous avions 14 sur trois divisé par six, c’est identique à 14 sur trois multiplié par un sur six, c’est-à-dire 14 sur 18. Et puis, si nous simplifions cela, nous pouvons dire que 𝑑 est égal à sept neuvièmes, ou sept sur neuf.
Donc, si nous mettons tout cela ensemble pour déterminer 𝑝 - et nous appelons 𝑝 la population à une année donnée - cela va être égal à un tiers plus 𝑛 moins un multiplié par sept neuvièmes. Ce qui va nous donner 𝑝 égale un tiers plus sept neuvièmes de 𝑛 moins sept neuvièmes.
Si nous simplifions cela, nous allons obtenir 𝑝 égale sept neuvièmes de 𝑛 moins quatre neuvièmes. Et c’est parce qu’un tiers vaut trois neuvièmes. Et trois neuvièmes moins sept neuvièmes nous donne moins quatre neuvièmes. Si nous prenons un neuvième comme facteur, nous allons obtenir 𝑝 égale un neuvième multiplié par sept 𝑛 moins quatre. Et il s’agit de l’équation linéaire de la population 𝑝 en millions.
