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Calculez la dérivée par rapport à 𝑥 de la racine de trois 𝑥 puissance sept plus 𝑥 puissance neuf sur neuf plus six 𝜋.
Nous voyons que la fonction que l’on nous a demandé de dériver est une fonction polynomiale en 𝑥. Il faut rappeler deux résultats principaux. Premièrement, si nous dérivons la somme de fonctions ou la somme de termes comme ce que nous avons ici, alors la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥 est égale à la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑓 de 𝑥 plus la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑔 de 𝑥. Essentiellement, nous pouvons dériver chaque terme séparément et additionner les dérivées.
Deuxièmement, nous rappelons la règle de la dérivation des puissances. Pour tout nombre réel 𝑛, la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑥 puissance 𝑛 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑥 puissance 𝑛 moins un. Nous multiplions par la puissance initiale, puis nous retranchons un de la puissance. Un cas particulier de celui de la dérivée par rapport à 𝑥 d’une constante 𝑐 qui sera zéro, ce que nous pouvons comprendre si nous pensons à 𝑐 comme 𝑐 multiplié par 𝑥 à la puissance zéro. Lorsque nous dériverons, nous multiplions par cette puissance zéro et notre réponse sera donc zéro.
Enfin, nous rappelons également que si nous cherchons la dérivée par rapport à 𝑥 d’une constante 𝑎 multipliée par 𝑓 de 𝑥, alors c’est égal à 𝑎 multiplié par la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons dériver notre fonction puis multiplier par la constante 𝑎. Utilisons donc toutes ces règles pour calculer la dérivée que l’on nous demande de trouver.
La première règle nous dit que nous pouvons simplement dériver chaque terme séparément. Commençons donc avec la racine trois 𝑥 puissance sept. Selon la deuxième règle, la dérivation de 𝑥 à la puissance sept donnera sept 𝑥 à la puissance six. Et selon notre règle finale, nous pouvons alors simplement multiplier par cette constante racine trois. Ensuite, nous dérivons le deuxième terme. La dérivée de 𝑥 puissance neuf selon notre deuxième règle est neuf 𝑥 puissance huit. Et avec la quatrième règle, nous pouvons multiplier par ce facteur un neuvième. Enfin, nous dérivons six 𝜋 qui, on le rappelle, n’est qu’une constante. Et par conséquent, sa dérivée par rapport à 𝑥 sera tout simplement zéro.
Nous pouvons simplifier neuf dans ce deuxième terme, ce qui nous laisse avec 𝑥 à la puissance huit. Et le premier terme se simplifie en sept racine de trois 𝑥 puissance six. Donc, en rappelant ces règles clés sur la dérivation, la plus importante étant la règle des puissances. Nous avons constaté que la dérivée par rapport à 𝑥 de cette fonction polynomiale est égale à sept racine de trois 𝑥 puissance six plus 𝑥 puissance huit.
