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Vidéo de question : Dérivation des fonctions trigonométriques à l’aide de la règle de la chaîne Mathématiques

On pose 𝑦 = sin (17/𝑥⁹), Déterminez d𝑦/d𝑥.

03:18

Transcription de vidéo

On pose 𝑦 est égal sinus de 17 sur 𝑥 puissance neuf, trouvez d𝑦 sur d𝑥.

Il s’agit ici d’un exemple d’une fonction composée. Nous avons la fonction 17 sur 𝑥 puissance neuf, puis nous prenons le sinus de cette fonction. Donc, nous avons une fonction d’une fonction. Afin de trouver la dérivée d’une fonction composée, nous devons rappeler la règle de la chaîne. La règle de la chaîne dit que si 𝑦 est une fonction de 𝑢 et 𝑢 est une fonction de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑢 multiplié par d𝑢 sur d𝑥. Voyons à quoi ressemblerait l’application de cette règle de la chaîne dans cette question.

Nous allons prendre 𝑢 égal à la partie interne de notre fonction composée. Donc, c’est 17 sur 𝑥 puissance neuf. Ou bien, nous pouvons écrire cela en utilisant des exposants négatifs comme 17𝑥 à la puissance moins neuf. Ensuite, comme 𝑦 est égal au sinus de 17 sur 𝑥 puissance neuf et 𝑢 est égal à 17 sur 𝑥 puissance neuf, 𝑦 sera égal au sinus 𝑢. Et donc, nous avons 𝑦 en fonction de 𝑢 et 𝑢 en fonction de 𝑥. Pour appliquer la règle de la chaîne, nous devons trouver leurs dérivées. C’est d𝑢 sur d𝑥 et d𝑦 sur d𝑢.

Pour trouver d𝑢 sur d𝑥, nous devons rappeler la règle de dérivation des puissances, qui nous dit que pour dériver une puissance de 𝑥, nous multiplions par cette puissance ou cet exposant, puis réduisons l’exposant de un. Ainsi, la dérivée de 17𝑥 puissance moins neuf sera 17 multiplié par moins neuf 𝑥 puissance moins 10. Ce qui se simplifie en moins 153𝑥 puissance moins 10. Pour trouver d𝑦 sur d𝑢, nous devons rappeler les résultats standards pour la dérivation des fonctions trigonométriques. Et rappelez-vous ici, l’argument de la fonction trigonométrique doit être donné en radians.

Nous rappelons que la dérivée de sinus 𝑢 par rapport à 𝑢 est cosinus 𝑢. Cela donne donc d𝑦 sur d𝑢 égal à cosinus 𝑢. Maintenant, nous pouvons utiliser cela dans la règle de la chaîne. Elle nous dit que d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑢, donc c’est cosinus 𝑢, multiplié par d𝑢 sur d𝑥, ce qui donne moins 153𝑥 puissance moins 10. Maintenant, nous avons une expression pour d𝑦 sur d𝑥, mais c’est en fonction de deux variables, la variable 𝑢 et la variable 𝑥. Et nous avons besoin que ce soit en fonction de notre variable d’origine uniquement. Alors, la dernière étape consiste à inverser notre substitution.

Rappelez-vous que nous avons défini 𝑢 comme étant égal à 17 sur 𝑥 puissance neuf. Ainsi, nous annulons notre substitution en remplaçant 𝑢 par 17 sur 𝑥 à la puissance neuf. Et en même temps, nous pouvons écrire moins 153𝑥 puissance moins 10 comme moins 153 sur 𝑥 puissance 10. Et donc, nous avons notre expression pour d𝑦 sur d𝑥. En utilisant la règle de chaîne qui, rappelez-vous, nous dit comment trouver la dérivée d’une fonction composée, nous avons trouvé que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 153 sur 𝑥 puissance 10 cosinus de 17 sur 𝑥 puissance neuf.

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