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𝑀𝐴𝐵𝐶𝐷 est une pyramide droite dont la base 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré de six centimètres de côté, et où 𝑀𝐴 égale 𝑀𝐵 égale 𝑀𝐶 égale 𝑀𝐷 égale 49 centimètres. Calculez le volume de la pyramide arrondi au centième près.
Commençons par dessiner cette pyramide. On nous dit que sa base 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré de six centimètres de côté. On nous dit également qu’il s’agit d’une pyramide droite, ce qui signifie que son sommet sera exactement au-dessus du centre de sa base. Chacun de ces segments, ou arêtes, 𝑀𝐴, 𝑀𝐵, 𝑀𝐶 et 𝑀𝐷 sont de longueur 49 centimètres.
On nous demande de calculer le volume de la pyramide, nous devons donc rappeler la formule pour le faire. Cela donne un tiers multiplié par la surface de la base multipliée par la hauteur. Maintenant, la surface de la base ne pose aucun problème car la base est un carré de six centimètres de côté. Cependant, qu’en est-il de la hauteur de la pyramide ? Ajoutons cette hauteur à notre figure. Rappelez-vous qu’il s’agit d’une pyramide droite, le sommet est exactement donc au-dessus du centre de la base, que nous appellerons le point 𝑋. Nous pouvons créer un triangle rectangle à l’intérieur de la pyramide en utilisant cette hauteur, la longueur de l’arête 𝑀𝐴 et la longueur du segment 𝐴𝑋, qui relie un coin de la base de la pyramide au centre de la base.
Nous pouvons calculer la longueur de ce segment en considérant d’abord un triangle rectangle dans la base de la pyramide. 𝐴𝐶, la diagonale de la base carrée 𝐴𝐵𝐶𝐷, est l’hypoténuse de ce triangle rectangle. Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore, qui stipule que dans un triangle rectangle la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de l’hypoténuse, nous avons 𝐴𝐶 au carré est égal à six au carré plus six au carré. Six au carré vaut 36, donc 𝐴𝐶 au carré est égal à 72. 𝐴𝐶 est égal à la racine carrée de 72, qui sous forme simplifiée donne six racine de deux.
Puisque le point 𝑋 est au centre de la base, la longueur de 𝐴𝑋 est la même que la longueur de 𝑋𝐶. Nous pouvons donc diviser la longueur de 𝐴𝐶 par deux pour avoir 𝐴𝑋 est égal à six racine de deux sur deux ; soit trois racine de deux centimètres.
En revenant à la figure de la pyramide, nous pouvons maintenant appliquer le théorème de Pythagore une deuxième fois, cette fois dans le triangle rectangle composé des longueurs 𝑋𝑀, 𝑋𝐴 et 𝐴𝑀. Cela donne l’équation trois racine de deux au carré plus ℎ au carré est égal à 49 au carré. En évaluant les carrés puis en soustrayant 18 de chaque côté, nous constatons que ℎ au carré est égal à 2383. ℎ est donc la racine carrée de 2383, soit 48,815 etc.
Après avoir calculé la hauteur de cette pyramide, nous sommes maintenant en mesure de déterminer son volume. Nous avons un tiers multiplié par la surface de la base, soit six au carré, multiplié par la hauteur, pour laquelle nous utiliserons la valeur exacte de la racine carrée de 2383. Six au carré vaut 36 et un tiers de 36 vaut 12. Nous avons donc 12 racine de 2383. Sur une calculatrice, ceci nous donne 585,7917 etc. Et puis en arrondissant au centième près, comme on nous le demande, nous obtenons 585,79.
Les unités de ce volume sont les centimètres cubes. Ainsi, nous avons constaté que le volume de la pyramide droite 𝑀𝐴𝐵𝐶𝐷 au centième près est de 585,79 centimètres cubes.
