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Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par huit fois 𝑥 puissance neuf, plus quatre divisé par 𝑥 par rapport à 𝑥.
Pour commencer, on peut rappeler que l’intégrale indéfinie de la somme de deux fonctions 𝑓 et 𝑔 est égale à l’intégrale indéfinie de 𝑓 plus l’intégrale indfinie de 𝑔. Cette propriété nous permet donc de séparer notre intégrale en deux intégrales distinctes. On a alors l’intégrale de huit fois 𝑥 puissance neuf par rapport à 𝑥 plus l’intégrale de quatre divisé par 𝑥 par rapport à 𝑥.
On peut ensuite rappeler que si 𝑛 est différent de moins un, alors l’intégrale indéfinie d’une constante 𝑎 multipliée par 𝑥 puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 divisé par 𝑛 plus un, fois 𝑥 puissance 𝑛 plus un, plus une constante d’intégration 𝑐.
On peut utiliser cette formule pour intégrer huit fois 𝑥 puissance neuf par rapport à 𝑥. On pose que notre puissance 𝑛 est égale à neuf et que notre coefficient 𝑎 est égal à huit. Cela nous donne huit divisé par neuf plus un, fois 𝑥 puissance neuf plus un, plus une constante d’intégration qu’on note 𝑐 un.
On peut ensuite rappeler que l’intégrale indéfinie d’une constante 𝑎 divisée par 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥, plus une constante d’intégration 𝑐. On peut utiliser cette formule pour intégrer quatre divisé par 𝑥 par rapport à 𝑥. Pour cela, on pose que notre coefficient 𝑎 est égal à quatre. Cela nous donne quatre fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥, plus une constante d’intégration qu’on note 𝑐 deux.
Il ne nous reste plus qu’à simplifier notre expression. Au dénominateur de notre premier terme, neuf plus un est égal à 10. Donc, notre premier terme devient huit sur 10 fois 𝑥 puissance 10. Ensuite, on a notre constante d’intégration 𝑐 un, qu’on peut se combiner avec notre seconde constante d’intégration, 𝑐 deux, en une seule constante qu’on note 𝑐. On obtient finalement huit sur dix 𝑥 puissance 10 plus 𝑐 plus quatre fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥. Enfin, on peut simplifier le facteur de huit sur dix en quatre sur cinq.
Par conséquent, on a montré que l’intégrale indéfinie de huit fois 𝑥 puissance neuf, plus quatre sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à quatre fois 𝑥 puissance 10 divisé par cinq, plus quatre fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥, plus une constante d’intégration 𝑐.
