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Deux condensateurs, 𝐶 un et 𝐶 deux, sont connectés en série, avec 𝐶 un supérieur à 𝐶 deux. Laquelle des propositions suivantes est correcte concernant la capacité totale, 𝐶 total, par rapport à 𝐶 un et 𝐶 deux ? (A) 𝐶 total égal 𝐶 un plus 𝐶 deux. (B) 𝐶 total égal 𝐶 un fois 𝐶 deux. (C) 𝐶 total égal 𝐶 un plus 𝐶 deux au carré. (D) 𝐶 total inférieure à 𝐶 deux inférieure à 𝐶 un. (E) 𝐶 deux inférieure à 𝐶 total inférieure à 𝐶 un.
Dans cette question, nous avons deux condensateurs, 𝐶 un et 𝐶 deux, connectés en série. On nous dit également que la capacité du condensateur un est plus grande que la capacité du condensateur deux. On nous demande de choisir la proposition qui relie la capacité totale des résistances à leurs capacités individuelles.
Rappelons que lorsque des condensateurs sont connectés en série, la capacité totale des condensateurs en série est donnée par cette équation. Un sur la capacité totale est égal à un sur la capacité du premier condensateur plus un sur la capacité du deuxième condensateur et ainsi de suite, jusqu’à atteindre le dernier des condensateurs en série. Comme nous avons deux condensateurs connectés en série, cette équation se simplifie en un sur la capacité totale égale à un sur 𝐶 un plus un sur 𝐶 deux.
Maintenant, déterminons une expression pour la capacité totale. Nous pouvons simplifier cette équation en considérant d’abord le membre de droite. Il nous faut deux fractions avec le même dénominateur pour pouvoir les additionner. Si nous multiplions un sur 𝐶 un par 𝐶 deux sur 𝐶 deux et multiplions un sur 𝐶 deux par 𝐶 un sur 𝐶 un, nous obtenons sur le côté droit, 𝐶 deux sur 𝐶 un 𝐶 deux plus 𝐶 un sur 𝐶 un 𝐶 deux.
En additionnant les termes de droite, nous obtenons un sur 𝐶 total égal à 𝐶 un plus 𝐶 deux sur 𝐶 un fois 𝐶 deux. Si nous prenons l’inverse des deux côtés, nous obtenons que 𝐶 total est égal à 𝐶 un fois 𝐶 deux sur 𝐶 un plus 𝐶 deux. Nous sommes maintenant arrivés à une équation qui relie les capacités des deux condensateurs en série à leur capacité totale.
Nous pouvons voir que les propositions (A), (B) et (C) ne correspondent pas à l’équation de la capacité totale que nous venons de déterminer, donc ces trois propositions sont incorrectes. Donc, il nous reste les propositions (D) et (E), qui comparent les valeurs des capacités. La différence entre les deux propositions est de savoir si 𝐶 total est inférieur à 𝐶 deux ou supérieur à 𝐶 deux.
Si nous pouvions obtenir le même dénominateur pour et 𝐶 deux et 𝐶 total, alors nous pourrions comparer les numérateurs pour déterminer lequel des deux est le plus grand. Nous pouvons faire cela en multipliant 𝐶 deux par 𝐶 un plus 𝐶 deux sur 𝐶 un plus 𝐶 deux, ce qui donne 𝐶 un 𝐶 deux plus 𝐶 deux au carré sur 𝐶 un plus 𝐶 deux.
Nous pouvons maintenant voir que le numérateur de 𝐶 deux est 𝐶 un 𝐶 deux plus 𝐶 deux au carré, tandis que le numérateur de 𝐶 total est juste 𝐶 un 𝐶 deux. Cela signifie que 𝐶 deux est supérieur à 𝐶 total, ce qui signifie que la proposition (E) est incorrecte. Il nous reste la proposition (D). Nous venons de démontrer que 𝐶 deux est supérieur à 𝐶 total, mais on nous dit également dans la question que 𝐶 un est plus grand que 𝐶 deux. Donc, 𝐶 un est aussi plus grand que 𝐶 total.
Donc, pour deux condensateurs 𝐶 un et 𝐶 deux connectés en série, 𝐶 un est la capacité la plus grande, 𝐶 deux est inférieure à 𝐶 un et 𝐶 total est la capacité la plus faible. Cela correspond à la proposition (D), 𝐶 total inférieur à 𝐶 deux inférieur à 𝐶 un. Donc, c’est la bonne réponse.
