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Quelles fonctions parmi les suivantes sont égales ?
On nous donne cinq paires de fonctions à considérer. Tout d’abord, nous remarquons que les cinq options incluent la fonction 𝑛 indice un de 𝑥 égale 𝑥 cube moins 729 sur 𝑥 cube plus neuf 𝑥 carré plus 81𝑥, alors que chaque fonction 𝑛 indice deux varie. Nous notons que toutes les fonctions 𝑛 indice un et 𝑛 indice deux données sont des fonctions rationnelles, où le numérateur et le dénominateur contiennent tous deux des polynômes. Dans le cas de la fonction 𝑛 indice un, le numérateur est un binôme cubique, c’est-à-dire une expression de degré trois avec deux termes. Le dénominateur est un trinôme cubique, ce qui signifie une expression de degré trois avec trois termes.
Nous allons maintenant rappeler ce que signifie que deux fonctions soient égales. Les fonctions rationnelles 𝑛 indice un et 𝑛 indice deux sont égales si, premièrement, elles ont des domaines égaux. Nous rappelons que l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est égal à tous les nombres réels moins l’ensemble contenant les zéros du dénominateur. Cela signifie que pour que les fonctions rationnelles 𝑛 indice un et 𝑛 indice deux remplissent la première condition, leurs dénominateurs doivent contenir les mêmes zéros réels.
La deuxième condition pour l’égalité des fonctions rationnelles 𝑛 indice un et 𝑛 indice deux est que 𝑛 indice un est égal à 𝑛 indice deux sur leur domaine partagé. Cette exigence est ce que nous appelons l’équivalence de 𝑛 indice un et 𝑛 indice deux. Les fonctions rationnelles équivalentes se simplifient pour donner la même expression. Dans ce contexte, équivalence et égalité ne signifient pas la même chose, car des fonctions rationnelles égales nécessitent des domaines égaux, alors que des fonctions rationnelles équivalentes sont dites équivalentes sur leur domaine partagé. Dans cette question, on nous demande d’identifier lesquelles des fonctions suivantes sont égales, ce qui signifie que 𝑛 indice un et 𝑛 indice deux ont des dénominateurs contenant les mêmes zéros réels et se simplifient pour donner la même expression. Nous allons maintenant faire de la place en laissant un bref résumé de ces deux exigences.
Nous rappelons que pour trouver les zéros réels de chaque dénominateur, nous devrons les factoriser. Pour simplifier les expressions rationnelles, nous devrons factoriser leurs numérateurs et leurs dénominateurs. Cela nous permet alors d’annuler tous les facteurs partagés, comme indiqué dans l’exemple ci-dessous. Par conséquent, nous allons commencer notre travail en factorisant le numérateur et le dénominateur de notre fonction 𝑛 indice un. Une fois cela fait, nous pourrons trouver les zéros réels du dénominateur et simplifier l’expression. Ces résultats seront ensuite comparés aux propriétés de nos différentes fonctions 𝑛 indice-deux. Faisons de l’espace pour travailler.
Afin de nous concentrer uniquement sur la fonction 𝑛 indice un pour le moment, nous allons déplacer toutes les fonctions 𝑛 indice deux sur le côté. Nous commencerons par factoriser le numérateur. Nous faisons une pause pour noter que 729 est un cube parfait. Nous savons que cela est vrai parce que nous obtenons le produit du même entier trois fois : neuf fois neuf fois neuf, soit neuf au cube. Par conséquent, nous pouvons écrire 𝑥 au cube moins 729 comme 𝑥 au cube moins neuf au cube. Nous appelons cela la différence de cubes. Nous appelons tout polynôme de la forme 𝑥 au cube moins 𝑎 au cube une différence de cubes. Sa factorisation est la suivante: 𝑥 moins 𝑎 fois 𝑥 au carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑎 au carré. Dans ce cas, nous substituerons l’entier neuf à la variable 𝑎. Il s’ensuit que le premier facteur de 𝑥 cube moins 729 est 𝑥 moins neuf.
Le deuxième facteur est 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 plus 81, où le 81 provient de la mise au carré de notre valeur 𝑎, qui était neuf. À ce stade, nous pourrions nous demander si le deuxième facteur est premier. Après avoir épuisé tous les facteurs de 81 et avoir vu qu’aucun d’entre eux ne donne le coefficient du terme en 𝑥, nous sommes confiants de dire que nous avons un facteur premier.
Maintenant, nous allons passer à la factorisation complète du dénominateur. La première chose que nous remarquons est que les trois termes du dénominateur contiennent un facteur commun 𝑥. En fait, 𝑥 est le seul facteur commun. Une fois que nous avons factorisé par 𝑥, il nous reste 𝑥 fois 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 plus 81.
Maintenant que le dénominateur est factorisé, nous sommes prêts à trouver les zéros réels de ce dénominateur. Nous cherchons les zéros en fixant chaque facteur à zéro. La première équation est déjà résolue : 𝑥 est égal à zéro. Seulement, la deuxième équation est un peu plus compliquée. Comme déterminé précédemment, ce polynôme est premier, ce qui signifie qu’il ne peut pas être factorisé.
Au lieu d’essayer de résoudre immédiatement ce polynôme, trouvons le discriminant. Nous rappelons qu’un polynôme avec un discriminant positif a deux zéros réels, alors qu’un discriminant nul signifie qu’il a un seul zéro réel. Un discriminant négatif signifie qu’il n’a pas de zéros réels. En utilisant la valeur 𝑎 de un, la valeur 𝑏 de neuf et la valeur 𝑐 de 81, nous obtenons un discriminant de moins 243. Cela signifie que le polynôme 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 plus 81 n’a aucun zéros réels. Par conséquent, ayant trouvé que le dénominateur n’a qu’un seul zéro réel, l’ensemble de définition de 𝑛 indice un est tous les nombres réels moins l’ensemble contenant zéro.
Revenons maintenant en arrière pour regarder la factorisation du numérateur et du dénominateur de 𝑛 indice un pour voir si son expression peut être simplifiée. Nous remarquons le facteur commun de 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 plus 81. Après avoir annulé le facteur commun, nous avons l’expression simplifiée 𝑥 moins neuf sur 𝑥. Nous allons maintenant faire de la place et laisser un bref résumé de ce que nous avons appris sur la fonction 𝑛 indice un.
Considérons la première fonction 𝑛 indice deux de l’option (A). La factorisation de ce dénominateur est 𝑥 fois 𝑥 au carré moins 63. La fonction 𝑛 indice deux égale à la fonction 𝑛 indice un signifie que cette dernière aura également pour domaine l’ensemble de tous les nombres réels moins l’ensemble contenant zéro. Trouvons les zéros du dénominateur. Après avoir fixé chaque facteur à zéro, nous avons trouvé trois zéros : 𝑥 est égal à zéro, 𝑥 est égal à plus trois fois la racine carrée de sept et moins trois fois la racine carrée de sept. Cela nous amène à conclure que cette fonction 𝑛 indice deux a pour domaine l’ensemble de tous les nombres réels moins l’ensemble contenant zéro, trois racine carrée de sept et moins trois racine carrée de sept, ce qui est différent du domaine de 𝑛 indice un. Par conséquent, nous éliminons l’option (A).
Considérons ensuite la fonction 𝑛 indice deux de l’option (B). Comme précédemment, nous allons d’abord factoriser le dénominateur de notre nouvelle fonction 𝑛 indice deux. Les facteurs du dénominateur sont 𝑥 fois 𝑥 au carré plus 63. Nous allons mettre chacun de ces facteurs à zéro. Le premier zéro de ce dénominateur est le même que le zéro du dénominateur de 𝑛 indice un. Nous notons également que 𝑥 au carré plus 63 ne nous donne aucun autre zéro réel car la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas un nombre réel. Par conséquent, cette fonction 𝑛 indice deux a le même domaine que la fonction 𝑛 indice un. Par conséquent, la première exigence d’égalité des fonctions rationnelles est remplie.
Maintenant, nous devons voir si cette fonction 𝑛 indice deux se simplifie pour donner la même expression que 𝑛 indice un. Cela est facilement confirmé en éliminant le facteur commun de 𝑥 au carré plus 63. Par conséquent, la fonction se simplifie en 𝑥 moins neuf sur 𝑥, ce qui rend 𝑛 indice deux équivalent à 𝑛 indice un. Puisque nous avons déjà montré que leurs domaines sont égaux, nous avons trouvé la bonne réponse : l’option (B).
Nous pouvons maintenant examiner rapidement les trois options restantes pour déterminer pourquoi les fonctions 𝑛 indice deux ne sont pas égales à la fonction 𝑛 indice un. Dans l’option (C), nous déterminons que 𝑛 indice deux est différente de 𝑛 indice un parce que 𝑛 indice deux ne peut pas se simplifier en l’expression 𝑥 moins neuf sur 𝑥. Dans l’option (D), nous déterminons que 𝑛 indice deux est différente de 𝑛 indice un car elle n’a pas les mêmes zéros réels au dénominateur que la fonction 𝑛 indice un. Enfin, dans l’option (E), nous déterminons que 𝑛 indice deux est différente de 𝑛 indice un car, encore une fois, elle n’a pas les mêmes zéros réels au dénominateur que la fonction 𝑛 indice un.
En résumé, nous avons éliminé l’option (A) car le domaine de 𝑛 indice deux était différent du domaine de 𝑛 indice un. Nous avons éliminé l’option (C) parce que la fonction 𝑛 indice deux ne pouvait pas se simplifier en l’expression 𝑥 moins neuf sur 𝑥. Nous avons éliminé l’option (D) pour la même raison que nous avons éliminé l’option (A). De même, nous avons éliminé l’option (E) parce que le domaine de 𝑛 indice deux était différent de celui de 𝑛 indice un.
En conclusion, sur les cinq options données, la seule paire de fonctions qui étaient égales était 𝑛 indice un de 𝑥 est égale à 𝑥 au cube moins 729 sur 𝑥 cube plus neuf 𝑥 au carré plus 81𝑥 et 𝑛 indice deux de 𝑥 est égale à 𝑥 moins neuf fois 𝑥 au carré plus 63 le tout sur 𝑥 au cube plus 63𝑥.
