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Vidéo de question : Déterminer les variations d’une fonction à partir de la courbe représentative de sa dérivée Mathématiques

La courbe représentative de la fonction dérivée première 𝑓’ d’une fonction 𝑓 est illustrée ci-dessous. Sur quels intervalles 𝑓 est-elle croissante ou décroissante ?

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Transcription de vidéo

La courbe représentative de la fonction dérivée première 𝑓’ d’une fonction 𝑓 est illustrée ci-dessous. Sur quels intervalles 𝑓 est-elle croissante ou décroissante ?

On nous donne la représentation graphique de la dérivée 𝑓 prime d’une fonction 𝑓. Nous devons l’utiliser pour déterminer les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 sera croissante ou décroissante. Commençons par rappeler ce que signifie pour une fonction 𝑓 d’être croissante ou décroissante sur un intervalle. Une fonction 𝑓 de 𝑥 est croissante sur un intervalle si les conditions suivantes sont vraies : si nous prenons deux points dans cet intervalle, alors le point avec l’abscisse 𝑥 la plus grande a l’image la plus grande. En d’autres termes, augmenter la valeur de 𝑥 sur notre intervalle augmentera l’image de notre fonction. Et nous définissons la décroissance de la même manière. Soit une fonction 𝑓 de 𝑥 décroissante sur un intervalle, prenons deux points quelconques de notre intervalle. Alors, le point avec l’abscisse la plus grande a l’image la plus petite.

En d’autres termes, sur cet intervalle, prendre une valeur plus élevée de 𝑥 diminuera l’image. Et il est souvent plus facile de voir cela graphiquement. Lorsque la courbe 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥 se déplace vers le haut, cela signifie que nos images deviennent plus grands. Donc, notre fonction est croissante. Et lorsque la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 se déplace vers le bas, nos images deviennent plus petites. Donc, notre fonction est décroissante. Et il convient également de préciser que si notre fonction reste constante, nous ne disons pas qu’elle est croissante ou décroissante. En fait, elle n’est ni l’un ni l’autre. Mais cela ne nous est utile que si on nous donne la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Dans ce cas, on nous donne la représentation graphique de la fonction 𝑦 est égal à 𝑓 prime de 𝑥.

Cela signifie que pour répondre à cette question, nous devons penser à ce qui arrive à la courbe 𝑦 est égal à 𝑓 prime de 𝑥 lorsque 𝑓 de 𝑥 est croissante et ce qui est arrivé à la courbe 𝑦 est égal à 𝑓 prime de 𝑥 lorsque 𝑓 de 𝑥 est décroissante. Pour ce faire, nous allons devoir nous rappeler ce que nous entendons par la fonction dérivée 𝑓 prime d’une fonction 𝑓. La fonction 𝑓 prime mesure la pente de nos droites tangentes à la courbe 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥. Donc, pour savoir ce qui arrive à la courbe 𝑦 est égal à 𝑓 prime de 𝑥 lorsque 𝑓 de 𝑥 est croissante ou décroissante, nous devons déterminer ce qui arrive à la pente de nos tangentes.

Commençons par un intervalle où 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 est croissante. Graphiquement, il est logique que sur cet intervalle nos pentes soient toutes positives. Après tout, nos résultats augmentent. Et en fait, c’est vrai, et nous pouvons même le prouver directement à partir de la définition de la dérivée. Tout d’abord, considérons un point 𝑥 zéro où 𝑥 zéro est dans notre intervalle sur lequel 𝑓 de 𝑥 est croissante. A partir de la définition de la dérivée, 𝑓 prime de 𝑥 zéro est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 zéro le tout divisé par ℎ.

Nous voulons montrer que cette limite est positive. Puisque ℎ s’approche de zéro, nous allons choisir ℎ assez petit pour que 𝑥 zéro plus ℎ soit également dans notre intervalle. Maintenant, il y a deux options. Soit ℎ est positif, soit ℎ est négatif. Premièrement, si ℎ est positif, alors 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ doit être supérieur à 𝑓 de 𝑥 zéro. C’est parce que nous avons choisi ℎ assez petit pour que 𝑥 zéro plus ℎ soit aussi dans notre intervalle sur lequel 𝑓 est croissante. Et 𝑥 zéro plus ℎ sera plus grand que 𝑥 zéro. Et nous obtenons une inégalité similaire si ℎ est inférieur à zéro. Cette fois, 𝑓 de 𝑥 zéro sera supérieure à 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ.

Encore une fois, c’est parce que 𝑓 est une fonction croissante sur cet intervalle. Et parce que ℎ est inférieur à zéro, 𝑥 zéro plus ℎ sera inférieur à 𝑥 zéro. Nous pouvons alors voir ce que cela donne pour la limite. Considérons le cas où ℎ est supérieur à zéro. Au numérateur à l’intérieur de notre limite, nous soustrayons maintenant un plus grand nombre à un nombre plus petit. Donc, notre numérateur est positif. Et dans ce cas, ℎ est positif. Nous divisons donc deux nombres positifs. Et nous savons que le quotient de deux nombres positifs est positif. Et nous obtenons quelque chose de similaire dans le cas où ℎ est inférieur à zéro.

Cette fois, nous soustrayons un plus grand nombre à un nombre plus petit. Donc, notre numérateur sera négatif. Mais rappelez-vous, ℎ est inférieur à zéro. Donc, notre dénominateur est également négatif. Et le quotient de deux nombres négatifs est positif. Cela prouve bien que notre limite sera supérieure ou égale à zéro car une suite de nombres positifs peut aussi se rapprocher de zéro. C’est pourquoi nous aimons parfois inclure les points où la pente est égale à zéro dans nos intervalles. Cependant, dans cette vidéo, nous ne les inclurons pas.

Nous pouvons, en fait, dire la même chose pour les intervalles sur lesquels notre fonction est décroissante. Sur ces intervalles, notre fonction diminuera. Cela signifie que nos pentes seront toutes négatives. Nous avons maintenant suffisamment d’informations pour commencer à déterminer les intervalles sur lesquels notre fonction 𝑓 est croissante ou décroissante juste à partir de la courbe 𝑦 est égal à 𝑓 prime de 𝑥. Nous savons que 𝑓 prime de 𝑥 sera croissante sur les intervalles où 𝑓 prime de 𝑥 est positif. Cela signifie que la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 prime de 𝑥 sera au-dessus de l’axe des 𝑥. Et de même, sur les intervalles où 𝑓 de 𝑥 est décroissante, 𝑓 prime de 𝑥 sera négatif. Cela signifie que notre courbe 𝑦 est égale à 𝑓 prime de 𝑥 sera en dessous de l’axe des 𝑥.

Nous sommes maintenant prêts à répondre à la question. Cependant, il y a encore une chose dont nous devons parler. Nous voulons parler des extrémités de cette courbe lorsque 𝑥 est égal à zéro et lorsque 𝑥 est égal à huit. Nous pouvons voir sur la courbe que 𝑓 prime calculé pour zéro est égal à deux, et 𝑓 prime calculé pour huit est approximativement égal à moins 1,5. Ceci est représenté par les cercles pleins sur notre figure. Donc, si nous regardons notre courbe entre 𝑥 égale zéro et 𝑥 égale un, nous pouvons voir que la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 prime de 𝑥 est au-dessus de l’axe des 𝑥. En d’autres termes, 𝑓 prime de 𝑥 est supérieure à zéro pour toutes les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à zéro et inférieures à un.

Et nous avons déjà expliqué pourquoi nous n’incluons pas le point d’abscisse 𝑥 égale un. En réalité, c’est juste une convention mathématique. Nous pourrions l’inclure si nous le voulions. Et nous pourrions laisser notre réponse comme ceci. Cependant, il existe une autre convention mathématique. Beaucoup de gens n’aiment pas inclure les extrémités de ces intervalles. Mais ces deux réponses sont correctes. C’est question de préférence personnelle parmi les mathématiciens. Dans cette vidéo, nous allons laisser cela de côté et laisser ceci comme l’intervalle ouvert de zéro à un. Donc, jusqu’à présent, nous avons montré que 𝑓 de 𝑥 est croissante sur l’intervalle ouvert de zéro à un. Continuons à trouver plus d’intervalles sur lesquels 𝑓 de 𝑥 est croissante ou décroissante.

En regardant la courbe 𝑦 est égal à 𝑓 prime de 𝑥, nous pouvons voir que cette courbe est en dessous de l’axe des 𝑥 pour toutes les valeurs de 𝑥 entre un et cinq. Donc, parce que la courbe de 𝑓 prime de 𝑥 est sous l’axe des abscisses sur l’intervalle ouvert de un à cinq, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est décroissante sur l’intervalle ouvert de un à cinq. Ensuite, en regardant notre courbe, nous pouvons voir que 𝑓 prime de 𝑥 est positive pour toutes les valeurs de 𝑥 sur l’intervalle ouvert de cinq à sept. Cela signifie que 𝑓 de 𝑥 est croissante sur l’intervalle ouvert de cinq à sept. Et enfin, nous pouvons voir que 𝑓 prime de 𝑥 est inférieure à zéro sur l’intervalle ouvert de sept à huit. Et nous n’incluons pas le point final de cette courbe par convention.

Nous avons donc montré que sur l’intervalle ouvert de sept à huit, les pentes de nos tangentes sont négatives. Et cela signifie que notre fonction 𝑓 de 𝑥 sera décroissante sur cet intervalle. Maintenant, nous avons trouvé tous les intervalles sur lesquels notre fonction 𝑓 est croissante et décroissante. Nous pouvons combiner cela dans notre réponse finale. Ainsi, en regardant les intervalles sur lesquels notre fonction 𝑓 prime de 𝑥 est positive ou négative, nous avons pu déterminer les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 était croissante ou décroissante. Nous avons pu montrer que 𝑓 sera croissante sur l’intervalle ouvert de zéro à un et sur l’intervalle ouvert de cinq à sept et décroissante sur l’intervalle ouvert de un à cinq et sur l’intervalle ouvert de sept à huit.

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