Vidéo : Déterminer le volume d’un cylindre

Découvrez comment un cylindre est un exemple de prisme et utilisez vos connaissances du calcul du volume d’un prisme pour calculer les volumes de cylindres de différentes questions, notamment des problèmes de scénario sans figure.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, on va parler de la façon de trouver le volume d’un cylindre. Tout d’abord, nous allons jeter un œil à prismes et comment travailler le volume d’un prisme. Et puis, nous allons voir comment un cylindre est un prisme circulaire. Enfin, nous examinerons quelques exemples de cylindres et la façon de calculer leurs volumes.

Avant de parler des cylindres, réfléchissons aux prismes. Un prisme est une forme 3D à section transversale constante. Par exemple, voici un cuboïde. J’ai marqué dans la section transversale avec ce bit rayé bleu ici. Et si je devais couper ce prisme à tout moment, ce cuboïde, à tout moment ici, alors disons-le comme ça, et regardons la tranche que je reçois, j’aurais toujours exactement la même coupe transversale.

Voici un autre exemple de prisme, un prisme en forme d’étoile. Cette section en forme d’étoile est la même sur toute la longueur du prisme. Et voici un prisme circulaire. Cette forme circulaire est la même sur toute la longueur du prisme. En fait, ce prisme circulaire porte le nom spécial de cylindre.

Maintenant, avant d’aller trop loin dans la réflexion sur les volumes, parlons d’un cube de chaque côté de longueur. L’aire de la section transversale de ce cube sera d’une unité sur une unité, ce qui correspond à une unité au carré. Nous pouvons maintenant calculer le volume en multipliant la surface de la section par la longueur ou, dans ce cas, la hauteur du prisme. Donc, ce sera une fois, ce qui est égal à un. Et parce que c’est le volume, ce sont des unités coupées en cubes.

Maintenant, si nous prenons notre cube d’une unité et que nous l’empilons sur un autre identique, nous aurons deux unités cubiques. Maintenant, un tiers fait trois unités cubes. Et un quatrième fait quatre unités cubiques, et ainsi de suite. Mais que se passe-t-il si nous commençons avec deux de ces unités cubiques côte à côte ? Maintenant, chaque fois que nous ajoutons une couche supplémentaire, nous ajoutons deux autres unités cubiques. Donc, trois couches nous donnent six unités cubiques. Et quatre couches nous donnent huit unités cubiques. L’idée générale est donc que, pour le volume, vous prenez la section transversale que nous avions ici et le multipliez par le nombre de couches, la longueur ou la hauteur de ce prisme.

Maintenant, comme nous l’avons déjà dit, un cylindre n’est qu’un prisme avec une section transversale circulaire. Encore une fois, pour calculer le volume, nous calculons simplement la surface de la section et le multiplions par la hauteur. Plus il est grand, plus le volume est important. Maintenant, rappelez-vous, de travailler sur la zone d’un cercle, il est 𝜋 fois le carré du rayon. Donc, si nous appelons notre rayon 𝑟, la surface est égale à 𝜋 fois 𝑟 au carré. Et si je laisse la hauteur de mon cylindre, ou la longueur de mon cylindre, ℎ, car le volume est égal à l’aire de la section transversale multiplié par la hauteur, on peut dire que le volume est égal à 𝜋𝑟 fois ℎ au carré. Et c’est le résultat que nous va utiliserons dans nos exemples dans le reste de cette vidéo.

Par exemple, trouvez le volume du cylindre arrondi au dixième près. Et le cercle au bout de notre cylindre a un rayon de 4.2 pieds. Et le cylindre a une hauteur de 6.5 pieds.

Donc, nous allons marquer 𝑟, le rayon, est égal à 4.2 et ℎ, la hauteur, est égal à 6.5. Donc, notre approche va être que le volume est égal à la surface de la section multipliée par la hauteur. Et puisque la section transversale est un cercle, la zone est va être 𝜋 fois le rayon au carré. Donc, cela équivaut à 𝜋 fois 4.2 fois le carré. Maintenant, il est important de se rappeler que c’est seulement la 4.2 qui est carré, pas le 𝜋. Donc, ça va être 𝜋 fois 17.64, ce qui nous donne une superficie de 55.41769441 et ainsi de suite.

Mais pour calculer le volume, rappelez-vous, nous devons également multiplier par la hauteur. Alors, ajoutons cela à notre travail. Et 55.41769441 fois 6.5 nous donne 360.2150137, etc., etc., ainsi de suite. Mais la question nous a demandé d’arrondir notre réponse au dixième près. Donc, je vais tout couvrir après le dixième et ensuite jeter un coup d’œil furtif sur le chiffre suivant pour voir si j’ai besoin d’arrondir cela ou non. Eh bien, le chiffre suivant est seulement un. Et s’il était cinq ou plus, alors nous arrondirions les deux à trois. Mais ce n’est pas ; c’est seulement un. Donc, on va le garder comme un deux. Donc, notre réponse au dixième le plus proche est 360.2 pieds cubiques.

Maintenant, regardons un exemple similaire. Mais cette fois, on nous a donné le diamètre du cylindre plutôt que le rayon.

Maintenant, rappelez-vous, le rayon est la moitié du diamètre. Donc, pour calculer le rayon, il suffit de diviser 14 par deux ou de le multiplier par un demi. Et cela nous donne sept pouces. Et la formule de notre volume est 𝑉 égal à 𝜋𝑟 carré ℎ. Et ainsi, en remplaçant les chiffres pour le rayon de sept pouces et la hauteur de 13 pouces, nous avons 𝜋 fois sept au carré fois 13. Encore une fois, il est important de se rappeler que ce n’est que les sept qui est carré et non pas le 𝜋. Donc, ça fait 𝜋 fois 49 fois 13. Et quand on met ça dans notre calculatrice et qu’on arrondit au dixième près, on obtient 2001.2 pouces cubiques.

Dans cet exemple, on nous a demandé de trouver le volume d’un cylindre de rayon quatre centimètres et de hauteur 14 centimètres. On dit aussi que nous devons laisser la réponse en fonction de 𝜋.

Maintenant, il y a quelques choses ici. Un, nous n’avons pas reçu de figure. Et deuxièmement, nous devons laisser notre réponse en fonction de 𝜋, il ne s’agit donc pas simplement d’inscrire le nombre dans une calculatrice et d’arrondir les chiffres. Vous n’avez pas besoin de figure, mais très souvent, dessiner une figure vous aide à organiser vos réflexions sur une question. Je recommanderais donc de faire un rapide croquis. Donc, il y a notre cylindre. Il a une hauteur de 14 centimètres et un rayon de quatre centimètres.

Ensuite, nous pouvons écrire la formule du volume. Le volume d’un cylindre est égal à 𝜋 fois le rayon carré multiplié par sa hauteur. Et nous pouvons substituer dans les chiffres que nous avons donné, donc 𝜋 est égal à quatre fois au carré 14, qui est 𝜋 fois 16 fois 14. Et 16 fois 14 est 224. Ainsi, notre réponse est 224 fois 𝜋. Maintenant, à partir de la question, nos deux mesures ont été données en centimètres. Donc, le volume va être en centimètres cubes. Donc, là nous l’avons. C’est notre réponse. 224𝜋 centimètres cubes. Alors, quand la question dit laisser votre réponse en fonction de 𝜋, cela signifie exprimer un multiple de 𝜋.

Maintenant, nous pouvons rendre les choses un peu plus difficiles en les transformant en problèmes de mots ou d’histoires. Ainsi, plutôt que de simplement dire explicitement que nous avons un cylindre et de vous dire quels sont le rayon et la hauteur et de faire ce calcul, vous devez déterminer le sens des différentes variables à partir du contexte de la question.

Alors, regardons quelques exemples comme ça.

Étant donné qu’environ 7.5 gallons d’eau peuvent remplir un pied cube, environ combien de gallons entiers se trouveraient dans un réservoir d’eau cylindrique de 20 pieds de diamètre et de 12 pieds de hauteur, s’il était plein ?

D’accord, commençons par une petit figure. Ici, notre réservoir cylindrique est complètement rempli d’eau, d’une profondeur ou d’une hauteur de 12 pieds et d’un diamètre de 20 pieds. Donc, tout d’abord, nous pouvons écrire que le volume est égal à 𝜋 fois le rayon au carré, fois la hauteur. Maintenant, nous pouvons brancher les chiffres que nous connaissons. Eh bien, le rayon est égal à la moitié du diamètre, donc la moitié de 20 est égal à 10. Le rayon au carré va donc être de 10 au carré. Et il est important de se rappeler que c’est juste 10 qui est élevé au carré, pas 𝜋 avec. Et la hauteur est de 12, nous devons donc multiplier cette réponse par 12.

Ainsi, ce calcul est 𝜋 fois 10 au carré, soit 100, 12 fois, de sorte que 𝜋 fois 1200 ou 1200𝜋 pieds cubiques. Maintenant, pour le moment, je vais laisser ma réponse en fonction de 𝜋 pour une précision maximale. Si je commençais à arrondir à quelques décimales, ces erreurs d’arrondi seraient reportées dans mon calcul et ma réponse finale pourrait être tout à fait incorrecte. Maintenant, nous avons calculé le volume du réservoir en pieds cubiques, mais la question est de savoir combien de gallons entiers d’eau seraient dans le réservoir d’eau cylindrique.

Maintenant, chaque pied cube contient 7.5 gallons d’eau. Donc, s’il y a 1200𝜋 de pieds cubiques, il y va de 7.5 fois plus de gallons d’eau. Ainsi, le calcul, nous devons faire pour travailler le nombre de gallons est 7.5 fois 1200𝜋, que je peux faire sur ma calculatrice. Maintenant, vous pouvez arrondir à la fin de la question. Et la question était de savoir combien de gallons entiers, il me faut donc arrondir au gallon entier le plus proche. Donc, en regardant notre numéro ici, ça va être 28274. Donc, nous pouvons écrire notre réponse gentiment et proprement à la fin, 28274 gallons d’eau.

Lequel a le plus grand volume, un cube dont les arêtes ont quatre centimètres de long ou un cylindre ayant un rayon de trois centimètres et une hauteur de huit centimètres ?

Donc, ce que nous devons faire ici, c’est calculer le volume du cube et calculer également le volume du cylindre, puis comparer les deux. Alors, d’abord, le cube, dessinons un croquis de quatre centimètres sur quatre centimètres sur quatre centimètres. Et le volume est juste va être quatre fois quatre fois quatre. Et puisque les unités de longueur ont été centimètres, notre volume va être en centimètres cubes. Et quatre fois quatre fois quatre, c’est 64. Ainsi, le volume du cube est de 64 centimètres cubes.

Maintenant, un rapide croquis du cylindre. Et utilisez la formule suivante : le volume est égal à 𝜋 fois le carré du rayon fois la hauteur. Maintenant, rappelons-nous que ce carré ne s’applique qu’aux trois. Il ne concerne pas le 𝜋. Donc, nous avons 𝜋 fois trois au carré sur huit. Et trois au carré est neuf. Donc, neuf fois huit, c’est 72. Donc, nous avons 𝜋 fois 72. Cela ne demande pas un niveau de précision de la question. Mais j’ai arrondi cela à deux décimales pour me donner 226.19 centimètres cubes.

Donc, encore une fois, les mesures étaient en centimètres, le volume en centimètres cubes et les deux nombres que nous devons comparer sont tous deux dans les mêmes unités, centimètres cubes. Maintenant, nous pouvons comparer ceux-ci. Et 226.19 est clairement beaucoup plus grand que 64, de sorte que le cylindre a le plus grand volume.

Maintenant, résumons ce que nous avons appris. Premièrement, un cylindre est un type de prisme à section transversale circulaire. Ensuite, pour calculer le volume d’un prisme, vous trouvez l’aire de la section transversale et multipliez-la par la longueur, parfois appelée hauteur, du prisme. Le volume d’un cylindre, est égal à 𝜋 fois le carré du rayon fois la hauteur.

Et une astuce, toujours vérifier si vous avez donné le diamètre ou le rayon du cylindre dans la question. C’est vraiment important. Et enfin, lorsque vous répondez à des problèmes d’histoire, veillez à lire attentivement la question pour trouver les informations pertinentes et vérifier vos unités. En outre, envisagez toujours de dessiner une figure, car il peut être très utile d’organiser votre réflexion sur le problème.

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