Transcription de la vidéo
Les deux cercles de centres 𝑀 et 𝑁 se coupent aux points 𝐴 et 𝐵, et le point 𝐶 appartient à la droite 𝐵𝐴 mais il n’appartient pas au segment 𝐵𝐴. 𝐷 et 𝐸 sont les points où le segment 𝐶𝐸 coupe le cercle de centre 𝑀 et 𝐶𝐹 est une tangente à 𝑁. Sachant que 𝐶𝐷 égale sept et que 𝐷𝐸 égale 12, déterminez 𝑃 indice 𝑁 de 𝐶.
La question nous donne énormément d'informations, commençons donc par faire un schéma. Nous avons deux cercles dont les centres sont 𝑀 et 𝑁. Nous ne savons pas lequel est le plus grand des deux. En fait, cela n'a pas vraiment d'importance. L'intersection de ces deux cercles se situe aux points 𝐴 et 𝐵. On nous dit que le point 𝐶 est situé sur la droite 𝐵𝐴, mais pas sur le segment 𝐵𝐴. Ce qui signifie que si nous traçons la droite 𝐵𝐴, 𝐶 est quelque part sur cette droite, mais elle n'est pas entre 𝐴 et 𝐵. Peut-être est-il ici. Ensuite, il y a un segment 𝐶𝐸, qui coupe le cercle de centre 𝑀 aux points 𝐷 et 𝐸, nous pouvons donc ajouter ce segment à notre schéma. Il y a alors une droite 𝐶𝐹 qui est une tangente au cercle de centre 𝑁. Voilà donc la dernière droite. On nous donne enfin les longueurs de deux segments. 𝐶𝐷 est de sept unités et 𝐷𝐸 de 12 unités.
Nous avons donc un dessin. Voyons maintenant ce qu'on nous demande de trouver. 𝑃 indice 𝑁 de 𝐶 signifie la puissance du point 𝐶 par rapport au cercle de centre 𝑁. Elle est calculée selon la formule 𝐶𝑁 au carré moins 𝑟 au carré, où 𝑟 est le rayon du cercle de centre 𝑁. Il s'agit donc de la distance entre le point 𝐶 et le centre du cercle au carré moins le rayon au carré. Or, nous n'avons aucune de ces informations, il va donc nous falloir une approche différente. Prenons d'abord le cercle de centre 𝑀, puisque nous avons plus d'informations sur ce cercle. Dans le cercle de centre 𝑀, nous connaissons les longueurs des segments 𝐶𝐷 et 𝐷𝐸, qui sont tous deux des segments d'une sécante à ce cercle. Nous pouvons donc rappeler le théorème de la puissance d'un point concernant les longueurs des segments sécants. Il s'énonce comme suit .
Considérons un cercle de centre 𝑀 et un point 𝐶 à l'extérieur du cercle. Soit 𝐶𝐸 un segment sécant au cercle en 𝐷 et 𝐸. Alors la puissance du point 𝐶 par rapport au cercle de centre 𝑀 sera égale à 𝐶𝐷 fois 𝐶𝐸. Or, nous connaissons la longueur de 𝐶𝐷. Elle est de sept unités. La longueur de 𝐶𝐸 est de sept plus 12. Cela fait 19 unités. Ainsi, la puissance du point 𝐶 par rapport au cercle de centre 𝑀 est de sept fois 19, soit 133.
Seulement, ce n'est pas ce qu'on nous a demandé de trouver. Nous devions trouver la puissance du point 𝐶 par rapport au cercle de centre 𝑁. Or, la droite 𝐶𝐵 ou 𝐵𝐶 est aussi une sécante du cercle de centre 𝑀, donc le produit des longueurs des segments sécants 𝐶𝐴 et 𝐶𝐵 sera aussi égal à 133. En effet, la puissance d'un point par rapport à un cercle donné est toujours la même. Ainsi, nous avons l'équation 𝐶𝐴 fois 𝐶𝐵 est égal à 133. Ceci est utile car 𝐶𝐵 n'est pas seulement un segment sécant du cercle de centre 𝑀 ; il est aussi un segment sécant du cercle de centre 𝑁. Il s'agit, en fait, d'un segment sécant commun aux deux cercles.
Ainsi, par le théorème de la puissance d'un point concernant les longueurs des segments sécants du cercle de centre 𝑁, nous avons que 𝑃 𝑁 de 𝐶 est égale à 𝐶𝐴 fois 𝐶𝐵. Nous venons de déterminer que cette valeur sera égale à 133. Autrement dit, nous avons constaté que la puissance du point 𝐶 par rapport à chaque cercle trouvé en utilisant leur sécante commune est la même. Nous pouvons donc conclure que la puissance du point 𝐶 par rapport au cercle de centre 𝑁 est de 133.
