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Vidéo de la leçon : Rapports trigonométriques sur le cercle unité Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser le fait que les signes du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle sont déterminés par son quadrant dans le cercle trigonométrique pour résoudre des équations trigonométriques.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser le fait que les signes du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle sont déterminés par son quadrant dans le cercle trigonométrique pour résoudre des équations trigonométriques. Commençons par rappeler ce que nous savons à-propos des angles dans un repère orthonormé.

Sur un repère orthonormé, le centre est l’origine. Pour les angles en position standard mesurés dans le repère orthonormé, l’axe des 𝑥 positifs est le côté initial et le point de départ de la mesure. Cet axe des 𝑥 positifs représente zéro degré. Au moment où l’on arrive à l’axe des 𝑦 positifs, on est passé à 90 degrés. L’axe des 𝑥 négatifs est de 180 degrés. L’axe des 𝑦 négatifs est de 270 degrés. Et le tour complet, de retour au point de départ, est de 360 degrés. En radians, ce serait zéro, 𝜋 sur deux, 𝜋, trois 𝜋 sur deux, et enfin deux 𝜋.

Le rayon du cercle qui représente l’endroit où on arrête de mesurer l’angle s’appelle le côté terminal. Et l’angle et la position standard sont situés entre le côté initial et le côté terminal. Mais nous voulons considérer spécifiquement les angles qui tombent sur le cercle unitaire. Le cercle unitaire est centré à l’origine et a un rayon d’une unité. Pour une paire de coordonnées 𝑥, 𝑦 dans le premier quadrant, les longueurs 𝑥 et 𝑦 deviennent les côtés d’un triangle rectangle. Et parce que nous savons que le rayon de ce cercle est un, l’hypoténuse de ce triangle rectangle sera un.

Si nous étiquetons les longueurs des côtés ici 𝑥 et 𝑦, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore, selon lequel 𝑎 carré plus 𝑏 carré égal 𝑐 carré, et dans le cercle unitaire 𝑥 carré plus 𝑦 carré égal à un. On peut aussi dire que l’équation du cercle unitaire doit être 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égal un. Mais ce que nous voulons faire maintenant, c’est considérer un peu de trigonométrie en ce qui concerne le sinus, le cosinus et la tangente. Nous savons que le sinus d’un angle représente la longueur du côté opposé sur l’hypoténuse, le cosinus d’un angle 𝜃 représente la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse et la tangente d’un angle est la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent.

Pour notre angle 𝜃 à l’intérieur du cercle unitaire, la longueur du côté opposé sera toujours la valeur 𝑦, c’est le côté vertical. Le sinus de 𝜃 est alors 𝑦 sur un puisque dans le cercle unitaire l’hypoténuse vaut toujours un. Le sinus de 𝜃 est donc égal à 𝑦 dans le cercle unitaire. De même, le côté adjacent sera le côté horizontal, la valeur 𝑥. Et cela signifie que dans le cercle unitaire, le cos de 𝜃 sera égal à 𝑥. Et cela signifie que tan 𝜃 est égal à 𝑦 sur 𝑥.

Avant de regarder quelques exemples, nous devons considérer une dernière chose. Et c’est le signe des angles dans les quadrants. Si nous gardons notre cercle unitaire et que nous regardons 𝑥, 𝑦 dans le premier quadrant, le quadrant un, toutes les valeurs de 𝑥 sont positives et toutes les valeurs de 𝑦 sont positives. Cela signifie que sinus de 𝜃 serait positif puisque 𝑦 est positif, cos de 𝜃 serait positif puisque 𝑥 est positif, et puisque 𝑥 et 𝑦 sont tous les deux positifs, tan de 𝜃 sera également positif. Cela signifie que dans le quadrant un, toutes les relations trigonométriques sont positives.

Mais lorsque nous passons au quadrant deux et créons un angle droit à partir du point moins 𝑥, 𝑦, nous avons affaire à des valeurs de 𝑥 négatives et à des valeurs de 𝑦 positives. La valeur 𝑦 est positive dans le deuxième quadrant, ce qui rend la valeur du sinus positive. Mais la valeur 𝑥 est négative. Et cela signifie que dans le quadrant deux, le cosinus est négatif. Avec une valeur positive et une valeur négative, la tangente devient alors négative. Donc, nous pouvons généraliser et dire qu’au quadrant deux, le sinus est positif mais le cosinus et la tangente sont négatifs.

En se déplaçant vers le quadrant trois, la valeur 𝑥 et la valeur 𝑦 sont négatives. Cela signifie que le sinus est négatif et le cosinus est négatif. Cependant, avec la tangente, le rapport 𝑦 négatif sur 𝑥 négatif est positif. Et ainsi, dans le quadrant trois, sinus et cosinus sont négatifs, tandis que la tangente est positive. Et enfin, dans le quadrant quatre, les valeurs de 𝑥 sont positives et les valeurs de 𝑦 sont négatives. Cela nous donne une valeur du sinus négative, une valeur du cosinus positive et une valeur de la tangente négative.

Une façon de se souvenir de ces signes consiste à utiliser le diagramme CAST qui ressemble à ceci. Le diagramme de CAST indique quelle valeur trigonométrique est positive dans quel quadrant. Dans le quadrant un, tous sont positifs. Dans le quadrant deux, le sinus est positif. Dans le quadrant trois, la tangente est positive. Et dans le quadrant quatre, le cosinus est positif. Maintenant, nous sommes prêts à considérer quelques exemples.

Trouver le sinus de 𝜃, étant donné que 𝜃 est en position standard et que son côté terminal passe par le point trois cinquièmes, moins quatre cinquièmes.

Il est probablement utile ici d’esquisser un repère orthonormé. Sur ce repère orthonormé, nous voulons tracer le point trois cinquièmes, moins quatre cinquièmes, qui est ici. Si nous savons que le côté terminal de notre angle passe par ce point et que notre angle est en position standard, alors le côté initial sera le rayon qui part de l’origine et passe par l’axe des 𝑥 positifs. Cela signifie que l’angle qui nous intéresse est l’espace entre le côté initial et le côté terminal. Cependant, pour calculer cela, nous allons former un angle droit avec l’axe des 𝑥.

Lorsque nous faisons cela, nous nous retrouvons avec un triangle rectangle. Et nous utilisons l’angle créé avec l’axe des 𝑥 pour résoudre. Nous pouvons résoudre ce problème en utilisant la trigonométrie du triangle rectangle, où nous avons un triangle rectangle avec des longueurs des côtés de trois cinquièmes et de quatre cinquièmes. Nous nous souvenons que le sinus de 𝜃 sera le côté opposé sur l’hypoténuse. Cependant, nous ne connaissons pas actuellement l’hypoténuse. Nous ne connaissons pas la distance entre l’origine et le point trois cinquièmes, moins quatre cinquièmes. Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver cela, ce qui signifie que trois cinquièmes au carré plus quatre cinquièmes au carré sont égaux à 𝑐 au carré. Neuf vingt-cinquièmes plus seize vingt-cinquièmes est égal à 𝑐 au carré. 25 sur 25 est égal à un. Et si 𝑐 au carré est égal à un, alors 𝑐 doit être égal à un.

Maintenant que nous savons que l’hypoténuse est égale à un, nous pouvons dire autre chose à propos de cet angle dans notre repère orthonormé. Et c’est que notre point tombe sur le cercle unité. Le cercle unitaire a son centre à l’origine et a un rayon de longueur un. Nous cherchons le sin de 𝜃. C’est égal à l’opposé sur l’hypoténuse. De plus, dans un cercle unitaire, le sin de 𝜃 est égal à sa coordonnée 𝑦. La coordonnée 𝑦 de ce point est moins quatre cinquièmes. Et donc, nous disons que le sin de 𝜃 est égal à moins quatre cinquièmes. Et si nous voulions vérifier cela, nous pourrions nous rappeler, s’appuyant sur le diagramme CAST, que pour les angles situés dans le quatrième quadrant, le cosinus est positif, mais le sinus et la tangente sont négatifs, ce qui confirme que le sin de notre angle 𝜃 est égal à moins quatre cinquièmes.

Prenons un autre exemple.

Supposons que 𝑃 soit un point du cercle unitaire correspondant à l’angle quatre 𝜋 sur trois. Y a-t-il un autre point du cercle unitaire représentant un angle dans l’intervalle de zéro à deux 𝜋 qui a la même valeur de tangente? Si oui, donner cet angle.

Premièrement, nous pourrions dessiner un repère orthonormé, puis ajouter un cercle unitaire, qui est un cercle avec le centre à l’origine et un rayon de longueur un. À partir de là, nous pourrions également vouloir étiqueter notre repère de coordonnées en radians commençant de zéro, 𝜋 sur deux, 𝜋, trois 𝜋 sur deux et deux 𝜋. Parce que nous sommes restreints à l’intervalle zéro, deux 𝜋, nous savons que nous ne sommes intéressés que par un tour complet. Notre point 𝑃 est sur le cercle unitaire et correspond à l’angle quatre 𝜋 sur trois. Cela signifie que notre premier travail consiste à déterminer où l’angle quatre 𝜋 sur trois atterrit.

on sait que quatre 𝜋 sur trois est supérieur à 𝜋, mais il vaut probablement la peine de faire une comparaison pour savoir si quatre 𝜋 sur trois est supérieur ou inférieur à trois 𝜋 sur deux. Si nous mettons ces fractions sur un dénominateur commun, quatre 𝜋 sur trois devient huit 𝜋 sur six et trois 𝜋 sur deux devient neuf 𝜋 sur six. Puisque huit 𝜋 sur six est inférieur à neuf 𝜋 sur six, on peut dire que quatre 𝜋 sur trois est inférieur à trois 𝜋 sur deux. Et cela signifie que le point 𝑃 va se situer dans notre troisième quadrant et que quatre 𝜋 sur trois serait cet angle.

Puisque nous savons que notre angle se situe dans le troisième quadrant, nous pouvons utiliser le diagramme de CAST, qui nous indiquera que la tangente de l’angle dans le troisième quadrant sera positive. Pour trouver un autre point dans le cercle unitaire qui a la même valeur de tangente, nous chercherons l’autre endroit où la valeur de tangente pourrait être positive. Et ce sera dans le premier quadrant. Dans le premier quadrant, toutes les valeurs trigonométriques seront positives.

Mais pour que nous puissions déterminer quelle serait la valeur de cet angle dans le premier quadrant, nous devons diviser notre angle quatre 𝜋 sur trois en parties plus petites. On pourrait dire que quatre 𝜋 sur trois est égal à 𝜋 plus 𝜋 sur trois, la distance de zéro à 𝜋 puis un 𝜋 sur trois supplémentaire. Le triangle rectangle créé à l’intérieur du cercle unitaire quatre 𝜋 sur trois dans le troisième quadrant ressemblerait à ceci.

Et dans le premier quadrant, il y aurait un point tel que nous aurions affaire à l’angle de 𝜋 sur trois. Dans le premier quadrant, cela aurait des coordonnées 𝑥, 𝑦. Et dans le troisième quadrant, il aurait des coordonnées négatives 𝑥, moins 𝑦. Et nous savons que dans un cercle unitaire, le tan de 𝜃 sera égal à 𝑦 sur 𝑥. Et nous dirions que la tan des quatre tiers 𝜋 est égal à moins 𝑦 sur moins 𝑥 et la tan de 𝜋 sur trois est égal à 𝑦 sur 𝑥. Mais nous simplifions moins 𝑦 sur moins 𝑥 à seulement 𝑦 sur 𝑥. Et donc, nous avons montré que oui, il y a un autre angle dans cet intervalle qui a la même valeur de la tangente. Et c’est l’angle 𝜋 sur trois.

Dans notre exemple suivant, nous allons considérer une application du cercle unitaire.

Considérons un moulin à vent dont les pales ont une longueur d’un mètre. La position de l’extrémité 𝑃 d’une pale donnée a pour coordonnées 𝑎, 𝑏, qui dépend de l’angle 𝜃 comme indiqué. Exprimer 𝑎 et 𝑏 en fonction de la mesure de l’angle 𝜃 en radians. Si l’angle 𝜃 à un certain instant est de cinq tiers 𝜋, quel sera sa mesure après que la pale ait effectué une demi-rotation?

Parce que la longueur des pales est de un mètre et que dans notre figure, cela représente le rayon du moulin à vent, nous pouvons utiliser nos connaissances du cercle unitaire pour nous aider à résoudre ce problème. La distance du centre du moulin à vent au point 𝑃 est de un. Et on nous dit que le point 𝑃 est situé en 𝑎, 𝑏. Et donc, nous pouvons créer un triangle rectangle avec l’axe des 𝑥 et dire que les longueurs de ses côtés sont respectivement 𝑎 et 𝑏. Nous utilisons la distance du côté terminal à l’axe des 𝑥 pour calculer l’angle 𝜃. Nous savons que dans le cercle unitaire, nous pouvons représenter l’angle comme une relation des sinus et cosinus. Pour notre angle 𝜃, la longueur du côté opposé serait 𝑏 et son hypoténuse est d’un mètre, nous avons donc un sin de 𝜃 égal à 𝑏 sur un. Et nous pouvons représenter 𝑏 comme le sin de 𝜃.

De même, si nous regardons le cosinus, nous nous retrouvons avec la longueur du côté 𝑎 sur un, ce qui signifie que nous pouvons dire que la distance 𝑎 doit être égale au cos de l’angle 𝜃. Et sans plus d’informations, c’est aussi tout ce que l’on peut écrire avec ces deux fonctions. On peut dire que 𝑏 est égal à sin de 𝜃 et 𝑎 est égal à cos de 𝜃.

La deuxième partie de nos questions dit que si l’angle de 𝜃 à un certain instant est de cinq 𝜋 sur trois, quel sera-t-il après que la pale ait terminé une demi-rotation? Tout d’abord, on nous a déjà dit que nous fonctionnons en radians, et il pourrait donc être utile d’étiqueter notre repère de coordonnées. En commençant par l’axe des 𝑥, zéro radian, puis 𝜋 sur deux radians, 𝜋 radians, trois 𝜋 sur deux radians, et un tour complet, qui est de deux 𝜋 radians. Dans un système comme celui-ci, un tour complet est de deux 𝜋. Et par conséquent, un demi-tour sera égal à 𝜋 radians.

Si nous commençons avec l’angle 𝜃 cinq 𝜋 sur trois radians et que nous ajoutons une demi-rotation, nous ajoutons 𝜋 à cet angle. Et comme pour l’addition de fractions, nous avons besoin d’un dénominateur commun. Nous pouvons écrire 𝜋 comme trois 𝜋 sur trois. Nous ajoutons cinq 𝜋 plus trois 𝜋 pour obtenir huit 𝜋. Et le dénominateur ne change pas. L’angle 𝜃 après une demi-rotation serait de huit 𝜋 sur trois.

Avant de terminer, passons en revue les points clés. Le cercle unitaire est un cercle dont le centre est à l’origine et le rayon est d’une unité. Pour tout point du cercle unitaire 𝑥, 𝑦, le sin de l’angle 𝜃 créé par ce point est égal à 𝑦 et le cos de l’angle 𝜃 est égal à 𝑥. De plus, 𝑥 carré plus 𝑦 carré doit être égal à un. Nous avons également vu que le diagramme de CAST peut être utilisé pour identifier les signes des fonctions trigonométriques dans chaque quadrant.

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