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Vidéo de question : Trouver le principal argument d’un nombre complexe Mathématiques

On pose 𝑍 = 9 + 3𝑖. Calculez l’argument principal de 𝑍 en degrés et au centième près.

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Transcription de vidéo

Étant donné que 𝑍 est égal à neuf plus trois 𝑖, calculez l’argument principal de 𝑍 arrondi au centième près.

Dans cette question, on nous donne un nombre complexe 𝑍. Et on nous demande de trouver l’argument principal de notre nombre complexe 𝑍. Nous devons arrondir notre réponse au centième près. Pour ce faire, nous devons d’abord rappeler ce que nous entendons par l’argument d’un nombre complexe 𝑍 et ce que cela signifie pour que cet argument soit principal. L’argument d’un nombre complexe 𝑍 est l’angle que le rayon de l’origine à 𝑍 fait avec l’axe réel positif dans le plan complexe. Ce que cela signifie, c’est chaque fois qu’on nous demande de trouver l’argument d’un nombre complexe 𝑍, c’est une bonne idée de le représenter dans le plan complexe.

Dans cette question, on nous demande de trouver l’argument de 𝑍, qui est égal à neuf plus trois 𝑖, nous allons donc mettre cela dans le plan complexe. Rappelez-vous, dans le plan complexe, l’axe horizontal représente la partie réelle de notre nombre complexe et l’axe vertical représente la partie imaginaire de notre nombre complexe. Dans notre cas, 𝑍 est donné sous forme algébrique. C’est la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖 où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. Et cela signifie que nous pouvons simplement regarder les parties réelles et imaginaires de notre nombre complexe 𝑍. La partie réelle va être la constante à elle seule. Cela fait neuf. Et la partie imaginaire va être le coefficient de 𝑖. Cela donne trois.

Cela signifie que dans le plan complexe, 𝑍 aura la coordonnée horizontale neuf et la coordonnée verticale trois. Nous pouvons donc placer cela dans le plan complexe. Nous sommes maintenant prêts à essayer de trouver l’argument de 𝑍. Pour ce faire, nous devons dessiner un rayon de l’origine à notre point 𝑍. L’argument de 𝑍 est n’importe quel angle que ce rayon fait avec l’axe réel positif. Par exemple, nous pouvons marquer cet angle 𝜃, et parce que 𝜃 est mesuré dans le sens antihoraire, 𝜃 sera positif, mais ce n’est pas le seul angle possible. Nous pourrions également mesurer cet angle dans le sens des aiguilles d’une montre, il y a donc beaucoup de différentes options possibles pour l’argument de 𝑍, c’est pourquoi nous avons quelque chose appelé l’argument principal de 𝑍.

Si 𝜃 est un argument du nombre complexe 𝑍, alors disons que 𝜃 est l’argument principal de 𝑍 si l’une des deux choses suivantes est vraie. Si nous mesurons notre angle en radians, nous devons avoir 𝜃 supérieur à moins 𝜋 et 𝜃 inférieur ou égal à 𝜋. Cependant, si nous mesurons notre angle en degrés, alors nous devons avoir 𝜃 supérieur à moins 180 degrés et inférieur ou égal à 180 degrés. Dans cette question, nous allons mesurer notre angle en degrés. Cependant, généralement, nous mesurons ces angles en radians, et nous pouvons voir que nous avons déjà marqué l’argument principal de 𝑍 sur notre diagramme parce que nous savons que cette valeur de 𝜃 est positive et nous savons également que ce sera un angle aigu.

Nous avons différentes méthodes pour trouver notre angle 𝜃. Le moyen le plus simple est de construire le triangle rectangle suivant. Nous descendons verticalement de 𝑍 à notre axe réel, puis vers l’origine. Ensuite, la base de ce triangle rectangle sera la valeur absolue de la partie réelle de 𝑍, qui est neuf, et la hauteur de ce triangle rectangle sera la valeur absolue de la partie imaginaire de 𝑍. Cela va donner trois. Nous pouvons alors trouver notre angle 𝜃 en utilisant la trigonométrie. La tangente d’un angle 𝜃 dans un triangle rectangle sera égale à la longueur du côté opposé à 𝜃 divisée par la longueur du côté adjacent à 𝜃. Dans notre cas, nous obtenons que la tangente de 𝜃 est égale à trois divisé par neuf. Et nous pouvons trouver notre valeur de 𝜃 en prenant la tangente inverse des deux côtés de cette équation.

Maintenant, nous pourrions simplifier trois sur neuf pour que cela devienne un tiers. Cependant, ce n’est pas nécessaire. Nous obtenons 𝜃 est la tangente inverse de trois sur neuf. Et il y a quelque chose qui mérite d’être souligné ici. Si nous résolvions cela comme une équation, nous saurions qu’il existe plusieurs solutions, nous devons donc toujours vérifier notre diagramme pour nous assurer que nous trouvons la bonne valeur. Dans ce cas, 𝜃 est un angle aigu, et il est positif car il est mesuré dans le sens antihoraire. Et si nous calculons cela avec notre calculatrice réglée en mode degrés, nous obtenons 𝜃 est égal à 18,434… degrés, ce qui est une valeur aiguë positive. En fait, c’est le seul d’entre eux qui résout cette équation. Donc, c’est la valeur correcte de l’angle 𝜃.

Et il convient de souligner ici qu’il y avait d’autres façons de trouver cet angle. Mais généralement, le moyen le plus simple est de trouver un angle aigu sur notre diagramme et de l’utiliser pour trouver l’argument principal. Nous avons donc presque terminé. Il n’y a qu’une dernière chose que la question veut que nous fassions. Nous devons donner notre réponse au centième près. Et pour ce faire, nous regardons la troisième décimale de notre réponse qui est quatre, ce qui est moins de cinq. Nous savons donc que nous devons arrondir vers le bas, ce qui est notre réponse finale. Par conséquent, étant donné que le nombre complexe 𝑍 est égal à neuf plus trois 𝑖, nous avons pu trouver l’argument principal de 𝑍 au centième près. Nous avons obtenu qu’il est égal à 18,43 degrés.

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