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Vidéo de la leçon : Rotations par rapport à un point Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer des rotations des points, des segments et des figures par rapport à des points donnés.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer des rotations des points, des segments et des figures par rapport à des points donnés.

Commençons par rappeler les différentes transformations. Et cela nous permettra d’identifier un peu plus facilement les rotations. Tout d’abord, nous avons des translations. Une translation déplace la figure vers la gauche ou la droite et vers le haut ou le bas. Ainsi, par exemple, une translation de cette figure trois unités vers la droite et une unité vers le bas donne l’image suivante. Ensuite, dans une symétrie, cela crée une image miroir d’une figure. Ainsi, si nous prenons cette même figure bleue et appliquons une symétrie par rapport à la droite en pointillé, l’image apparaîtra comme indiqué.

La troisième transformation de l’agrandissement, souvent appelée dilatation, survient lorsqu’une figure devient plus grande ou plus petite, sauf dans les cas où le rapport est égal à un ou à moins un. Donc, si nous prenons cette figure bleue et l’agrandissons par rapport de deux autour de ce centre d’agrandissement, l’image ressemblerait à ceci.

Enfin, nous arrivons à la principale transformation que nous examinons dans cette vidéo, la rotation. Les rotations font tourner une figure dans un mouvement circulaire autour d’un point. Nous pouvons décrire une rotation en utilisant un angle et un sens. La direction sera dans le sens des aiguilles d’une montre ou le sens inverse des aiguilles d’une montre. Et le sens inverse des aiguilles d’une montre est parfois écrit comme le sens antihoraire. Donc, disons que nous avons tourné cette figure de 90 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre autour de ce centre de rotation. L’image ressemblera à ceci, car chaque sommet se déplace de 90 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre autour du centre de rotation.

Nous nous concentrerons sur plus de détails au fur et à mesure que nous aborderons les questions, mais il est important de noter que le centre de rotation peut être n’importe où, mais dans cette vidéo, nous verrons ce qui se passe lorsque le centre de rotation est l’un des sommets de la figure. Jetons un coup d’œil à la première question, dans laquelle nous devrons identifier la rotation entre un certain nombre de transformations différentes.

Lequel des choix suivants représente une rotation de la figure ombrée ?

Commençons par rappeler qu’une rotation est la transformation qui fait tourner une figure à l’aide d’un mouvement circulaire autour d’un point. Si vous avez du mal à visualiser les transformations, voire les rotations, il peut être utile d’utiliser du papier calque. Placez le papier calque sur la figure et tracez sur le contour. Comme nous pensons à une rotation, il peut être utile de placer notre pointe de crayon n’importe où sur le papier calque, de la tourner et de voir ce qui se passe. À partir des choix qui nous sont donnés, le choix (C) produit une rotation.

Tout comme dans le croquis, si nous plaçons notre pointe de crayon avec le papier calque ici et faisons tourner la figure ombrée de 90 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre, nous obtiendrons l’image suivante. Nous aurions également pu faire une rotation de 270 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et obtenir la même image. Par conséquent, le choix (C) est la bonne réponse. Mais regardons rapidement les autres choix.

Le choix (A) a deux figures qui ressemblent à une image miroir. Par conséquent, il s’agit d’une symétrie. L’axe de symétrie apparaîtrait à mi-chemin entre ces deux figures. Mais ce n’est pas une rotation, donc ce n’est pas la réponse. Dans le choix (B), l’image se trouve à quatre unités à droite de la figure ombrée initiale, indiquant qu’il s’agit d’une translation mais pas d’une rotation. Dans le choix (D), cette figure ombrée et la figure non ombrée ne sont pas superposables ou semblables. Par conséquent, cela ne représente aucune transformation et certainement pas une rotation. Nous pouvons donc donner la réponse en tant que le choix (C).

Dans la question suivante, nous verrons comment les directions utilisant les points cardinaux du nord, du sud, de l’ouest et de l’est peuvent être décrites comme des rotations.

Sophia a fait une randonnée dans les bois. Elle marchait vers le nord-est le long d’un sentier. Quand elle est arrivée à une fourche dans le sentier, elle a commencé à marcher vers le nord-ouest. Décrivez entièrement la rotation qu’elle a effectuée à la fourche du sentier.

Dans cette question, on nous dit que Sophia marche dans les bois. Elle marche vers le nord-est. Cela signifie que nous devrons rappeler les points cardinaux. Nous avons toujours le nord en haut, le sud en bas, puis l’ouest et l’est. Comme Sophia marche vers le nord-est, elle marche dans cette direction. Alors, voici Sophia marchant le long du sentier jusqu’à ce qu’elle arrive à une fourche dans le sentier. Une fourche dans un sentier serait un endroit où il y a un certain nombre de chemins différents.

On nous dit que Sophia commence alors à marcher vers le nord-ouest. Le nord-ouest est entre le nord et l’ouest, donc Sophia commence à marcher dans cette direction. On nous demande ensuite de décrire la rotation qu’elle a faite à la fourche du sentier. C’est le point où elle a changé de direction. Lorsque Sophia est arrivée à la fourche, elle regardait vers le nord-est. Au lieu de continuer en avant, cependant, elle s’est tournée vers le nord-ouest. Ce tour indique une rotation. Et pour décrire une rotation, nous devons donner l’angle de rotation et son sens.

Si nous observons nos points cardinaux, l’angle entre le nord et l’est est un angle droit de 90 degrés. Par conséquent, l’angle entre le nord et le nord-est est exactement la moitié de cela. Il vaut 45 degrés. Il en va de même pour l’angle entre le nord et le nord-ouest. Il est aussi égal à 45 degrés. Ainsi, lorsque Sophia s’est tournée, elle s’est tournée à un angle de 90 degrés. La direction de ce tour est dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Nous pouvons donc donner notre réponse que la rotation effectuée est une rotation de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Nous aurions également pu décrire cela comme une rotation de 270 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre. Habituellement, lorsque nous décrivons la rotation d’une figure, nous devons également indiquer le point autour duquel la rotation de la figure a eu lieu. Dans ce cas, le centre de rotation est la fourche dans le sentier, et cela nous a été donné dans la question. Par conséquent, une réponse de rotation de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre est suffisante.

Regardons une autre question.

Vers où se transforme le segment 𝐹𝐴 suite à une rotation de 180 degrés par rapport à 𝑀 ?

Rappelons-nous qu’une rotation est la transformation qui fait tourner une figure à l’aide d’un mouvement circulaire autour d’un point. Dans cette question, la figure est le segment FA et la rotation est de 180 degrés autour du point 𝑀. Habituellement, nous avons un sens de mouvement ou de rotation, mais puisque 180 degrés est exactement la moitié d’un tour complet de 360 degrés, alors nous pouvons faire cela dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse. Commençons par le sommet 𝐴 et voyons où son image va apparaitre suite à une rotation de 180 degrés.

Chaque sommet sera toujours à la même distance du centre de rotation. Par exemple, si on fait tourner 𝐴 60 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre autour de 𝑀, son image va apparaitre au sommet 𝐹. Nous savons que ce serait un angle de 60 degrés qui fait tourner 𝐴 vers 𝐹 car nous avons un hexagone régulier. Par conséquent, si nous avons tourné de 180 degrés et que le sens de cette flèche est dans le sens des aiguilles d’une montre, alors l’image de 𝐴 sera au sommet 𝐷.

Ensuite, nous pouvons considérer où l’image du point 𝐹 serait après une rotation de 180 degrés. Ce serait ici au sommet 𝐶. Par conséquent, nous pouvons donner notre réponse qu’une rotation de 180 degrés autour de 𝑀 transforme le segment 𝐹𝐴 au segment 𝐶𝐷.

Dans la question suivante, nous devrons déterminer l’angle de rotation entre un objet et son image.

Le triangle 𝐴 𝐵 prime 𝐶 prime est l’image du triangle 𝐴𝐵𝐶 par une rotation de 𝑥 degrés autour de 𝐴 dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Trouvez 𝑥.

Ainsi, dans cette question, on nous donne une rotation. Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est tourné, et on nous dit que c’est dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, pour nous donner le triangle 𝐴 𝐵 prime 𝐶 prime. L’angle de rotation est de 𝑥 degrés, et nous devons déterminer 𝑥.

Le centre de rotation de cette rotation est au sommet 𝐴, ce qui explique pourquoi il n’y a pas de nouvelle image de 𝐴 de 𝐴 prime. Afin de déterminer l’angle de rotation entre un objet et son image, nous pouvons calculer l’angle entre n’importe quel sommet et l’image de ce sommet. Commençons par le sommet 𝐵. Nous savons qu’elle tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre vers l’image 𝐵 prime. Si nous joignons chaque sommet, 𝐵 et 𝐵 prime, avec une droite vers le centre de rotation, alors pour trouver l’angle de rotation, il suffit de trouver l’angle entre ces deux droites.

Donc, 𝑥, l’angle de rotation, est égal à 37 degrés plus 69 degrés, ce qui signifie que 𝑥 est égal à 106. Nous pouvons vérifier notre réponse en trouvant l’angle entre 𝐶 et 𝐶 prime. Pour trouver l’angle ici, nous allons encore une fois ajouter 69 degrés et 37 degrés, ce qui nous donne une réponse de 106.

Dans la dernière question, nous allons effectuer une rotation sur un repère.

Trouvez les nouvelles positions des sommets du triangle donné après une rotation de 180 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de 𝐿.

Sur ce repère, nous avons un triangle 𝐿𝑀𝑁. Et on nous dit que nous devons le faire tourner de 180 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Cela signifie que nous allons transformer cette forme. Et le fait que nous appliquons une rotation autour de 𝐿 indique que 𝐿 est le centre de rotation. Commençons par observer la rotation du sommet 𝑁. Comme nous avons une rotation de 180 degrés, nous pouvons utiliser le fait que la somme des angles sur une ligne droite est 180 degrés pour penser que le nouveau sommet 𝑁 doit se trouver quelque part sur cette ligne droite.

Cependant, la distance entre un sommet et le centre de rotation restera toujours la même. Le sommet 𝑁 est à une unité à droite et à trois unités en haut du centre de rotation. Ainsi, lorsqu’il est tourné, le nouveau sommet sera d’une unité vers la gauche et de trois unités vers le bas. Nous pouvons appeler cette image de 𝑁 𝑁 prime. Voyons maintenant où le sommet de 𝑀 apparaîtra après la rotation. Une rotation de 180 degrés placera l’image de 𝑀 ici. Nous pouvons appeler ce nouveau sommet 𝑀 prime. Nous pouvons joindre ces trois sommets pour créer l’image du triangle 𝐿𝑀𝑁.

Pour répondre à la question, nous devons donner les trois coordonnées des trois nouveaux sommets. Le sommet 𝐿 prime est le même que le sommet 𝐿, et il est au point cinq, quatre. L’image du sommet 𝑀 est 𝑀 prime, et c’est au point deux, trois. Enfin, l’image du sommet 𝑁 est à 𝑁 prime, et elle est à la position quatre, un. Et donc, nous avons la réponse pour les positions des sommets du triangle après une rotation. Notez que comme il fait 180 degrés, ça n’aurait pas d’importance si nous faisons tourner dans le sens inverse des aiguilles d’une montre ou le sens des aiguilles d’une montre.

Nous pouvons maintenant résumer ce que nous avons appris dans cette vidéo. Tout d’abord, nous avons vu que la rotation est l’une des transformations. Les autres transformations sont la translation, la symétrie et l’agrandissement. Nous avons vu qu’une rotation fait tourner une figure d’un angle dans un mouvement circulaire autour d’un point. Dans cette vidéo, nous nous sommes concentrés sur les occasions où le centre de rotation est l’un des sommets, mais le centre de rotation peut se produire n’importe où à l’intérieur ou à l’extérieur de la figure.

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