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Vidéo de question : Trouver le diamètre d’une sphère compte tenu de sa masse et de sa densité Physique

Une bille en acier a une masse de 0,034 g. Trouvez le diamètre de la bille en millimètres, arrondi au millimètre près. Utiliser une valeur de 8000 kg / m³ pour la masse volumique de l’acier.

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Transcription de vidéo

Une bille en acier a une masse de 0,034 grammes. Trouvez le diamètre de la bille en millimètres, arrondi au millimètre près. Utilisez une valeur de 8000 kilogrammes par mètre cube pour la masse volumique de l’acier.

Bon, cette question est à propos d’une bille en acier. On sait qu’elle a une forme sphérique, et on nous demande de trouver son diamètre. Notons 𝑑 ce diamètre inconnu. On note également 𝑚 la masse de la bille, et on nous dit qu’elle est égale à 0,034 grammes. L’autre chose qu’on nous donne est la masse volumique de l’acier, qui est le matériau qui compose la bille. On note généralement les masses volumiques avec le symbole 𝜌 et on nous dit que, dans ce cas, la masse volumique a une valeur de 8000 kilogrammes par mètre cube. Rappelons que la masse volumique 𝜌 d’un objet est égale à la masse 𝑚 de l’objet divisée par son volume 𝑉. Rappelons également que le volume 𝑉 d’une sphère est égal à quatre tiers fois 𝜋 fois le cube du rayon 𝑟 de la sphère.

Ici, dans cette question, on ne veut pas réellement déterminer la valeur du rayon, mais plutôt le diamètre de la sphère, qu’on a noté 𝑑. Le rayon 𝑟 est la distance entre le centre de la sphère et le bord, tandis que le diamètre 𝑑 est la distance tout au long de la sphère d’un côté à l’autre en passant par le centre. Alors, le diamètre 𝑑 est égal au rayon 𝑟 multiplié par deux. Eh bien, si on divise les deux côtés de cette équation par deux, sur le côté droit les deux se simplifient et on trouve que le rayon 𝑟 est égal au diamètre 𝑑 divisé par deux.

On peut utiliser cette relation entre le rayon et le diamètre afin de remplacer le rayon 𝑟 dans cette équation du volume de la sphère. En remplaçant 𝑟 par 𝑑 sur deux, on a que 𝑉 est égal à quatre tiers fois 𝜋 fois le cube de 𝑑 sur deux. On peut également écrire ça comme quatre tiers fois 𝜋 fois 𝑑 au cube sur huit. Or si on multiplie le trois et le huit au dénominateur, cela nous donne 24. Et donc, on obtient une fraction de quatre divisée par 24, qui se simplifie à un divisé par six. Donc, on a que le volume 𝑉 d’une sphère est égal à un sixième fois 𝜋 fois le cube du diamètre de la sphère. On peut utiliser cette équation avec celle de la masse volumique 𝜌 afin de résoudre notre problème.

Si on réarrange cette équation de la masse volumique en écrivant 𝑉 en fonction des autres termes, alors on peut utiliser les valeurs de la masse 𝑚 et de la masse volumique 𝜌 de la bille pour calculer son volume. Ensuite, une fois qu’on a calculé ce volume, on peut réarranger cette autre équation du volume d’une sphère afin d’écrire 𝑑 en fonction du volume. Finalement, en remplaçant la valeur calculée du volume 𝑉, on peut calculer le diamètre 𝑑, qui correspond à ce qui est demandé. Une difficulté qu’on va rencontrer ici est avec les unités des grandeurs. On nous demande de trouver le diamètre en millimètres, et on nous donne une masse en grammes et une masse volumique en kilogrammes par mètre cube.

Commençons par convertir la masse 𝑚 en kilogrammes afin qu’elle corresponde aux unités de la masse volumique 𝜌. Rappelons qu’un kilogramme équivaut à 1000 grammes. En divisant les deux côtés par 1000 et en simplifiant les 1000 à droite, on trouve qu’un gramme est égal à un millième de kilogramme. Donc, pour convertir des grammes en kilogrammes, on doit diviser la valeur par 1000. Lorsqu’on divise la valeur de la masse de la bille en grammes par 1000, on obtient un résultat de 0,000034 kilogrammes. On pourrait également écrire cette valeur en notation scientifique comme 3,4 fois 10 puissance moins cinq kilogrammes, où on a obtenu une puissance de moins cinq parce qu’on a dû déplacer la virgule cinq places pour transformer cette valeur en 3,4.

Alors qu’on a une masse 𝑚 en kilogrammes qui correspond à la masse volumique en kilogrammes par mètre cube, on peut utiliser ces valeurs dans cette équation pour calculer le volume de la sphère 𝑉. Tout d’abord cependant, on doit écrire 𝑉 en fonction des autres termes. Pour faire ça, on multiplie d’abord les deux membres de l’équation par 𝑉. A droite, le 𝑉 au numérateur se simplifie avec le 𝑉 au dénominateur. Donc, on a le volume 𝑉 fois la masse volumique 𝜌 est égale à la masse 𝑚. Ici, on divise les deux membres de l’équation par la masse volumique 𝜌. Les deux 𝜌 à gauche se simplifient. Et on se trouve avec une équation qui dit que le volume 𝑉 est égal à la masse 𝑚 divisée par la masse volumique 𝜌.

Si on remplace les valeurs de 𝑚 et 𝜌 de la bille en acier à droite de cette équation, alors on a que le volume de la sphère 𝑉 est égal à 3,4 fois 10 puissance moins cinq kilogrammes divisé par 8000 kilogrammes par mètre cube. En termes d’unités, les kilogrammes du numérateur et du dénominateur se simplifient. Et cela donne des unités de « un » divisé par « un » sur mètres cube ou simplement des unités de mètres cubes. Lorsqu’on effectue le calcul, on obtient un résultat de 4,25 fois 10 puissance moins neuf mètres cubes. Et cette valeur est le volume de la bille en acier.

Puisqu’on a trouvé le volume 𝑉, on va ensuite utiliser cette valeur dans cette équation afin de calculer le diamètre de la bille. Alors, réarrangeons l’équation en écrivant 𝑑 en fonction du volume. On va commencer par multiplier les deux membres de l’équation par six divisé par 𝜋. À droite, les six et 𝜋 du numérateur et du dénominateur se simplifient. Et on a que six fois 𝑉 divisé par 𝜋 est égal à 𝑑 au cube. En prenant la racine cubique des deux membres, on obtient à droite la racine cubique de 𝑑 au cube, qui est simplement égale à 𝑑. Enfin, en écrivant l’équation dans l’autre sens, on a que le diamètre 𝑑 est égal à la racine cubique de six fois le volume 𝑉 divisé par 𝜋.

On est maintenant prêts à remplacer la valeur du volume 𝑉 de la bille dans cette équation. Lorsqu’on fait cela, on obtient ici cette expression pour son diamètre 𝑑. Le calcul de l’expression à l’intérieur de la racine cubique donne un résultat de 8,1169 fois 10 puissance moins neuf mètres cubes, où les trois points de suspension montrent qu’il existe d’autres décimaux. Ensuite, en calculant la racine cubique, on obtient un diamètre 𝑑 de 2,0097 etcetera fois 10 puissance moins trois mètres. Notons que puisque le volume 𝑉 était en mètres cubes, on a un diamètre 𝑑 en mètres.

Cependant, on nous demande de donner notre réponse en millimètres. Rappelons qu’un mètre est égal à 1000 millimètres, ou de manière équivalente, un mètre est égal à 10 puissance trois millimètres. Donc, pour convertir des mètres en millimètres, on multiplie simplement par 10 à la puissance trois. Si on prend notre valeur pour le diamètre 𝑑 en unités de mètres et on la multiplie par 10 à la puissance trois, alors on a 10 puissance moins trois multiplié par 10 puissance trois, et cela est simplement égal à un. Alors, en millimètres, le diamètre de la bille est égal à 2,0097 et cetera millimètres.

La dernière chose à faire est d’arrondir ce résultat au millimètre près. Cela nous donne notre réponse finale pour le diamètre de la bille comme étant deux millimètres.

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