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Vidéo de question : Déterminer le coefficient d’un certain terme dans un développement binomial Mathématiques

Déterminez le coefficient de 𝑎² dans le développement de ((𝑎/11) + (11/6𝑎))¹².

04:50

Transcription de vidéo

Déterminez le coefficient de 𝑎 au carré dans le développement de 𝑎 sur 11 plus 11 sur six 𝑎 à la puissance 12.

Afin de trouver le coefficient de 𝑎 au carré dans notre développement, nous allons utiliser quelque chose appelé la formule du terme général. Et ce que la formule du terme général nous dit, c’est que tout terme est égal à 𝑛 parmi 𝑟 multiplié par 𝑎 à la puissance 𝑟 multiplié par 𝑏 à la puissance 𝑛 moins 𝑟. Et c’est quand nous avons notre développement sous la forme 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛.

Alors maintenant, nous avons en fait cette formule du terme général et nous connaissons chacune de ces parties. Ce que nous voulons réellement faire, c’est voir comment nous pouvons l’utiliser pour nous aider à trouver notre coefficient de 𝑎 au carré. Eh bien, tout d’abord, ce que l’on va faire, c’est écrire ce que nous savons. Nous allons donc écrire 𝑎. Eh bien, c’est 𝑎 sur 11, car comme vous pouvez le voir dans notre formule de terme général, 𝑎 est le premier terme entre parenthèses. Et 𝑏 est égal à 11 sur six 𝑎. Et il est important ici de faire attention et de se rappeler les signes parce que si nous avions moins 11 sur six 𝑎, nous devrions l’écrire parce que cela fait une différence dans la réponse.

D’accord, maintenant, nous allons passer à 𝑛. Eh bien, 𝑛 est égal à 12 car en fait c’est l’exposant de notre parenthèse. Ensuite, nous passerons à 𝑟. Et en fait 𝑟 nous ne le savons pas et c’est ce que nous devons savoir car cela va nous aider à déterminer le coefficient de 𝑎 au carré.

D’accord, alors maintenant que nous avons ces choses-là. Remplaçons-les dans notre formule. Donc, ce que nous obtenons est que notre terme est égal à 12 parmi 𝑟 multiplié par 𝑎 sur 11 à la puissance 𝑟 multiplié par 11 sur six 𝑎 à la puissance 12 moins 𝑟. Alors maintenant, on sépare nos termes. Ainsi, nous pouvons voir nos termes 𝑎 par eux-mêmes. Nous avons donc 12 parmi 𝑟 multiplié par un sur 11 à la puissance 𝑟 multiplié par 𝑎 à la puissance 𝑟 multiplié par 11 sur six à la puissance 12 moins 𝑟 puis multiplié par 𝑎 à la puissance moins 12 moins 𝑟.

Et on a obtenu notre dernier terme 𝑎 à la puissance moins 12 moins 𝑟 en utilisant la règle des exposants. Et cette règle nous dit que si nous avons un sur 𝑎 à la puissance 𝑏, alors cela est égal à 𝑎 à la puissance moins 𝑏. D’accord, super. Mais que faisons-nous ensuite ? Eh bien, si nous revenons à la question, nous nous intéressons au terme qui a en fait 𝑎 au carré. Donc, ce qui nous intéresse, ce sont ces termes ici : notre 𝑎 à la puissance 𝑟 et 𝑎 à la puissance moins 12 moins 𝑟. Parce que nous pouvons dire que dans le terme que nous recherchons, 𝑎 à la puissance 𝑟 multiplié par 𝑎 à la puissance moins 12 moins 𝑟 doit être égal à 𝑎 au carré.

Maintenant, où nous établissons une équation, nous pouvons voir que nos bases sont les mêmes. Nous avons donc que 𝑎 est la base de chacun de nos termes. Donc, nous pouvons dire que nos exposants sont égaux. Alors, nous avons 𝑟 plus moins 12 moins 𝑟 est égal à deux. Nous avons obtenu cela en utilisant une autre règle d’exposants, qui nous dit que si nous avons 𝑎 à la puissance 𝑏 multiplié par 𝑎 à la puissance 𝑐, alors ils ont tous deux les mêmes bases et ce que nous faisons c’est que nous ajoutons simplement les exposants. Donc, dans ce cas, nous avons ajouté 𝑟 et moins 12 moins 𝑟. Alors nous simplifions et nous obtenons 𝑟 moins 12 plus 𝑟 est égal à deux. Et puis nous ajoutons 12 de chaque côté. Nous obtenons donc deux 𝑟 est égal à 14. Et puis, nous divisons par deux. Nous obtenons donc que 𝑟 est égal à sept.

D’accord, super, nous avons maintenant trouvé notre 𝑟. Alors utilisons-le dans notre formule pour savoir quels sera notre terme. Nous allons donc avoir que le 8ème terme est égal à 12 parmi sept multiplié par un sur 11 à la puissance sept multiplié par 𝑎 à la puissance sept multiplié par 11 sur six à la puissance 12 moins sept qui est cinq et puis multiplié par 𝑎 à la puissance moins 12 moins sept qui est moins cinq.

D’accord, alors maintenant, que devons-nous faire ? Lorsque nous revenons en arrière, la question nous demande de trouver le coefficient de 𝑎 au carré. Nous savons donc que ce terme implique le terme 𝑎 au carré car 𝑎 à la puissance sept multiplié par 𝑎 à la puissance moins cinq nous donne 𝑎 au carré. Donc, ce que nous devons faire pour trouver le coefficient, c’est multiplier nos autres composantes. Donc, nous avons 12 parmi sept multiplié par un sur 11 à la puissance sept multiplié par 11 sur six à la puissance cinq qui est égal à un sur 1188.

Nous pouvons donc dire que le coefficient de 𝑎 au carré dans le développement de 𝑎 sur 11 plus 11 sur six 𝑎 à la puissance 12 est un sur 1188.

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