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Vidéo de question : Déterminer les coefficients binomiaux Mathématiques

Déterminez le coefficient de 𝑥³ dans le développement de (2 + 3𝑥)⁸.

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Transcription de vidéo

Déterminez le coefficient de 𝑥 au cube dans le développement de deux plus trois 𝑥 le tout à la puissance huit.

C’est un exemple d’expression binomiale écrite sous la forme 𝑎 plus 𝑏 le tout élevé à la puissance 𝑛. Nous pouvons résoudre des problèmes de ce type en utilisant le triangle de Pascal. Cependant, comme la puissance ou l’exposant dans ce cas est supérieur à cinq, il serait fastidieux d’écrire chaque ligne du triangle de Pascal. Nous allons donc utiliser le théorème binomial. Il indique que 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑛 parmi zéro multiplié par 𝑎 à la puissance 𝑛 plus 𝑛 parmi un multiplié par 𝑎 à la puissance 𝑛 moins un multiplié par 𝑏 à la puissance un, et ainsi de suite, où 𝑛 parmi 𝑟 est égal à factorielle de 𝑛 divisée par factorielle de 𝑛 moins 𝑟 multipliée par factorielle de 𝑟. Au fur et à mesure que nous avançons terme par terme, les puissances ou les exposants de 𝑛 diminuent, tandis que les puissances ou les exposants de 𝑏 augmentent.

Dans cette question, la valeur de 𝑎 est deux, 𝑏 est égal à trois 𝑥 et la puissance ou l’exposant 𝑛 est égal à huit. À ce stade, nous pourrions écrire tout le développement. Cependant, nous ne sommes intéressés que par le terme contenant 𝑥 au cube. Comme 𝑏 est égal à trois 𝑥, ce sera le terme dans le développement général contenant 𝑏 au cube. Ce terme est égal à huit parmi trois multiplié par 𝑎 à la puissance cinq multiplié par 𝑏 au cube.

En utilisant nos valeurs de 𝑎 et 𝑏, nous avons huit parmi trois multiplié par deux à la puissance cinq multiplié par trois 𝑥 le tout au cube. Huit parmi trois est égal à factorielle huit divisée par factorielle cinq multipliée par factorielle trois. Nous rappelons que factorielle huit peut s’écrire huit multiplié par sept multiplié par six multiplié par factorielle cinq. Nous pouvons alors simplifier factorielle cinq du numérateur et du dénominateur. Factorielle trois est égal à six. Nous pouvons donc simplifier cela du numérateur et du dénominateur. Huit parmi trois est donc égal à huit multiplié par sept, ce qui donne 56.

Nous aurions aussi pu simplement taper cela directement dans notre calculatrice. Deux à la puissance cinq est égal à 32. Comme trois au cube est égal à 27, trois 𝑥 le tout au cube donne 27𝑥 au cube. Notre expression devient 56 fois 32 fois 27𝑥 au cube. Cela équivaut à 48384𝑥 au cube. Comme nous voulons juste le coefficient de 𝑥 au cube, la réponse finale est 48384.

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