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Que vaut moins neuf plus cinq 𝑖 multiplié par trois moins 𝑖?
Dans cette question, on nous demande de calculer le produit de deux nombres complexes et nous pouvons voir que ces deux nombres sont donnés sous forme algébrique. Rappelez-vous, la forme algébrique d’un nombre complexe est la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖 où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. Donc, pour multiplier ces deux nombres complexes, nous devons remarquer quelque chose d’intéressant au sujet de leur forme. À l’intérieur de chaque paire de parenthèses, nous avons deux termes. Ce sont deux expressions binomiales, nous pouvons donc multiplier les deux binômes ensemble en utilisant la double distributivité.
Commençons donc par multiplier les deux premiers termes de chacune de nos parenthèses. Cela nous donne moins neuf multiplié par trois. Ensuite, la double distributivité nous indique que nous devons ajouter le produit des deux extrémités de nos parenthèses. Cela signifie que nous devons ajouter moins neuf multiplié par moins 𝑖. L’étape suivante de la double distributivité consiste à ajouter le produit des deux termes du milieu. Et c’est cinq 𝑖 multiplié par trois. Enfin, la dernière étape consiste à ajouter le produit des deux derniers termes de chaque parenthèse. Et c’est cinq 𝑖 multiplié par moins 𝑖.
Maintenant que nous avons développé nos parenthèses, nous pouvons simplifier chacun de ces produits indépendamment. Premièrement, moins neuf multiplié par moins trois est égal à moins 27. Ensuite, nous avons moins neuf multiplié par moins 𝑖. Eh bien, le produit de deux nombres négatifs étant positif, cela va être égal à neuf 𝑖. Notre troisième terme est cinq 𝑖 multiplié par trois. Nous multiplions le cinq et le trois ensemble pour obtenir 15, ce qui nous donne 15𝑖. Le quatrième terme est un peu plus compliqué. Nous avons cinq 𝑖 multiplié par moins 𝑖. Tout d’abord, nous devons multiplier le moins un et le cinq ensemble ce qui nous donne moins cinq. Cependant, nous avons toujours 𝑖 multiplié par 𝑖 ce qui donne 𝑖 au carré.
Jusqu’à présent, nous avons montré que le produit de ces deux nombres complexes est égal à moins 27 plus neuf 𝑖 plus 15𝑖 moins cinq 𝑖 au carré. Cependant, nous pouvons simplifier davantage. Nous remarquons que nos deuxième et troisième termes peuvent être additionnés. Pour additionner ces deux termes, il suffit d’additionner les coefficients des 𝑖. Et neuf plus 15 est égal à 24, donc la somme de ces deux termes nous donne 24𝑖.
Mais nous pouvons simplifier encore plus. Nous devons remarquer quelque chose à propos de notre dernier terme Nous pouvons voir que notre troisième terme contient un facteur 𝑖 au carré. Et nous savons que 𝑖 est la racine carrée de moins un. Donc 𝑖 au carré est égal à moins un. Nous pouvons donc remplacer 𝑖 au carré dans cette expression par moins un, ce qui nous donne moins 27 plus 24𝑖 moins cinq fois moins un. Et bien sûr, soustraire cinq fois moins un revient à ajouter cinq. Et ainsi nous avons moins 27 plus cinq, ce qui est égal à moins 22 et donc cela donne moins 22 plus 24𝑖, qui est notre réponse finale. Par conséquent, nous avons pu montrer que moins neuf plus cinq 𝑖 multiplié par trois moins 𝑖 est égal à moins 22 plus 24𝑖.
