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Vidéo de question : Détermination du nombre total de franges lumineuses sur un écran Physique

La lumière avec une longueur d’onde de 588 nm traverse une feuille dans laquelle se trouvent deux fentes étroites parallèles, distantes de 12,6 𝜋m. La lumière provenant des fentes est incidente sur un écran parallèle à la feuille, à 1,52 m, où un motif de franges claires et sombres est observé. L’écran mesure 2,24 m de long et son centre est aligné avec le point médian entre les fentes de la feuille. Combien de franges lumineuses sont observées sur l’écran?

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Transcription de vidéo

La lumière d’une longueur d’onde de 588 nanomètres traverse une feuille dans laquelle se trouvent deux fentes étroites et parallèles, distantes de 12,6 micromètres. La lumière des fentes est incidente sur un écran parallèle à la feuille, à 1,52 mètre, où un motif de franges claires et sombres est observé. L’écran mesure 2,24 mètres de long et son centre est aligné avec le point médian entre les fentes de la feuille. Combien de franges lumineuses sont observées sur l’écran?

Donc, ce que cette question veut savoir, c’est combien de franges lumineuses sont observées sur l’espace limité d’écran de 2,24 mètres, car il est possible que les ondes lumineuses provenant des fentes dépassent l’écran, ce qui signifie bien sûr que ces ondes particulières ne vont pas former une frange brillante sur l’écran. Donc, pour voir combien de frange en total l’écran pourra tenir, comparons la longueur totale de l’écran avec la distance individuelle entre les franges, l’idée étant qu’on peut prendre cette longueur totale de l’écran et la diviser par la distance entre les franges, ce qui, espérons-le, nous donnera le nombre de franges présentes.

Cela peut sembler simple, puisqu’on connait déjà la longueur totale de l’écran. Mais la longueur entre les franges lumineuses dépend de plusieurs facteurs : la longueur d’onde de la lumière passant par les fentes, la distance entre les fentes et la distance entre les fentes et l’écran.

Pour voir exactement comment tous ces facteurs sont liés les uns aux autres, commençons par regarder de plus près ces fentes. Lorsque deux ondes lumineuses sortent de ces fentes pour se rencontrer sur l’écran pour former une frange brillante, elles sortent des fentes suivant un angle bien déterminé, même si ce n’est pas techniquement le même angle, puisqu’elles convergent éventuellement pour former l’une de ces franges brillantes plutôt que de rester parallèles pour toujours, la différence est si petite qu’elles ont essentiellement le même angle. En effet, c’est parce que la distance entre les fentes est très petite par rapport à la distance entre la feuille et l’écran. Par conséquent, on peut dire que la différence entre les angles de ces ondes est extrêmement petite, ce qui signifie qu’on peut essentiellement dire qu’ils sont les mêmes.

Les angles qu’on voit ici peuvent sembler un peu différents, mais rappelons-nous que c’est parce qu’ils ne sont pas à l’échelle. La représentation des angles ici est meilleure. Maintenant, par cette même logique d’avoir une très petite différence entre ces angles, si nous incluons une ligne venant du centre des fentes et de la même manière, une onde lumineuse provenant du centre de ces fentes et arrivant à une frange brillante, alors l’angle entre cette droite et cette onde lumineuse serait également le même. Lorsqu’on se réfère à n’importe lequel de ces trois angles, on utilisera toujours le même angle 𝜃.

Maintenant, la raison pour laquelle on a mis cette ligne médiane ici c’est pour créer un triangle rectangle. Si on ajuste notre triangle de sorte que la longueur de ce côté ici soit égale à la distance entre deux franges brillantes, alors on peut commencer à faire de la trigonométrie. Ce triangle ici est le même que celui-là. Voyons ce qu’on en connait. C’est un triangle rectangle avec un autre angle ici qu’on sait que c’est 𝜃. On sait déjà que la longueur du côté en bas est de 1,52 mètres. Mais pour ne pas encombrer les équations, on l’appellera 𝐿 pour le moment. Pour le côté en haut, qui est l’hypoténuse, on l’appelle simplement 𝐻. Et le côté opposé, on dira, a une longueur de 𝑌 𝑛, qui représente la distance entre les deux franges brillantes, dans ce cas la frange brillante centrale et la frange brillante directement au-dessus.

Maintenant, la raison pour laquelle on utilise l’indice 𝑛 est parce qu’on représente généralement des franges lumineuses spécifiques avec des valeurs spécifiques de 𝑛, indiquant leur distance par rapport à la frange brillante centrale, qui a un 𝑛 de zéro. Chaque frange au-dessus ou en dessous de la frange centrale a une valeur de 𝑛 incrémentée de un par rapport à la frange précédente. 𝑌 𝑛 représente ici la distance entre deux de ces franges lumineuses. Mais pour simplifier le travail, on le fait entre 𝑛 égal à zéro et 𝑛 égal à un parce que cela nous donne un triangle rectangle. La distance entre les franges brillantes, c’est-à-dire la valeur 𝑌 𝑛, est la même entre n’importe quelles deux franges adjacentes. Mais le triangle résultant ne serait pas un triangle rectangle, ce qui rendrait les choses beaucoup plus difficiles. Donc, nous allons travailler avec 𝑛 égal à zéro et 𝑛 égal à un.

Ici, commençons à trouver la relation entre cet angle 𝜃 et les autres côtés de ce triangle rectangle. Rappelons certaines règles trigonométriques, on sait que sin 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé à l’angle sur la longueur de l’hypoténuse, qui dans ce cas serait 𝑌 𝑛 sur 𝐻. La raison pour laquelle on veut trouver cette relation est parce que sin 𝜃 est utilisé dans cette équation, ce qui nous donne la différence du chemin optique pour les points interférant de manière constructive, c’est-à-dire les franges brillantes. On revient sur les variables dans l’équation dans un instant. Mais pour l’instant, concentrons-nous sur la fonction sinus.

On veut substituer cette valeur de sin 𝜃, mais on ne peut pas le faire sous sa forme actuelle, puisqu’on ne connait pas la longueur 𝐻 de l’hypoténuse. Pour cela, on doit faire un changement en utilisant la tan de 𝜃. Pour tout triangle rectangle, tan 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent, qui dans ce cas devient 𝑌 𝑛 sur 𝐿. Ceci est pratique car on a maintenant une variable connue ici avec 𝐿, ce qui est beaucoup mieux que sin 𝜃, qui a deux variables inconnues 𝑌 𝑛 et 𝐻.

Et il s’avère qu’il existe un moyen de relier ces deux en utilisant ce qu’on appelle l’approximation du petit angle. L’approximation du petit angle peut être utilisée essentiellement chaque fois qu’on a un très petit angle, comme celui qu’on a dans ce triangle, le sin 𝜃 et le tan 𝜃 de cet angle sont essentiellement les mêmes, ce qui signifie que pour ce triangle sin 𝜃 est égal à 𝑌 𝑛 sur 𝐻, ce qui est approximativement égal à 𝑌 𝑛 sur 𝐿. Ainsi, lorsqu’on substitue la valeur de sin 𝜃 dans cette équation, on peut utiliser 𝑌 𝑛 sur 𝐿. Nous pouvons donc commencer à remplacer les choses ici maintenant. Mais d’abord on doit considérer, pourquoi utiliser cette équation? Comment cette équation va-t-elle nous aider à trouver combien de franges brillantes sont observées sur l’écran? Eh bien, considérons les variables en jeu ici.

𝑑 est la distance entre les fentes, 12,6 micromètres. 𝜆 de l’autre côté ici est la longueur d’onde de la lumière, 588 nanomètres. Mais cette variable 𝑛 ici est ce qu’on recherche vraiment. La variable 𝑛 représente la 𝑛ième frange brillante vers laquelle convergent une paire d’ondes à partir de la frange brillante centrale. Donc, si on connait toutes les autres variables, on peut résoudre la 𝑛ième frange brillante maximale sur l’écran. Et si on connait la 𝑛ième frange brillante maximale, alors on sait que toutes les autres franges brillantes en dessous doivent également exister, ce qui signifie que 𝑛 peut être utilisé pour trouver le nombre total de franges brillantes sur l’écran. Alors allons-y résoudre le problème.

La première chose qu’on va faire est d’isoler cette valeur 𝑛, ce qu’on pourra accomplir en divisant les deux côtés par 𝜆, ce qui annule 𝜆 du côté droit, laissant juste 𝑛. Ensuite, on peut en substituer sin 𝜃 par 𝑌 𝑛 sur 𝐿, ce qui nous donne 𝑑 𝑌 𝑛 sur 𝐿 sur 𝜆, qui peut être simplifié en 𝑑 𝑌 𝑛 sur 𝜆𝐿. Maintenant qu’on a l’équation en termes de 𝑛 complètement avec des variables qu’on connait, commençons à regarder ces variables.

𝑑 est la distance entre les fentes et est égal à 12,6 micromètres. Mais mettons cela en notation scientifique pour faciliter le calcul plus tard. 12,6 micromètres en notation scientifique est 1,26 fois 10 puissance moins cinq mètres. Ensuite, la longueur d’onde de la lumière passant par les fentes est de 588 nanomètres, soit 5,88 fois 10 puissance moins sept mètres en notation scientifique. Le suivant est 𝐿, la longueur entre l’écran et la feuille, qui est de 1,52 mètres. Cela nous laisse maintenant avec 𝑌 𝑛, la distance entre les franges brillantes, ce qu’on ne semble pas avoir. Mais 𝑌 𝑛 ne doit pas nécessairement être entre deux franges lumineuses directement adjacentes. Cela pourrait être, par exemple, entre la frange brillante centrale et la frange brillante maximale possible, auquel cas le triangle qui serait formé aurait un 𝑌 𝑛 égal à la moitié de la longueur de l’écran de 2,24 mètres, ce qui serait 1,12 mètres.

Mais il n’y a pas que des franges lumineuses au-dessus de la frange brillante centrale, il y en a aussi en dessous, ce qui signifie que, à partir de la frange brillante centrale, nous aurions deux valeurs de 𝑌 𝑛, une pour celles situées au-dessus et une en dessous de la frange brillante centrale. Cela signifie qu’on additionnerait ces deux ensembles pour trouver la surface totale où se trouveraient les franges lumineuses, qui correspond simplement à la longueur d’origine de l’écran qui est de 2,24 mètres. Puisqu’on a vu qu’on peut prendre 𝑌 𝑛 comme étant la longueur entière de l’écran, la variable 𝑛, qui compte le nombre de franges lumineuses dans la longueur de 𝑌 𝑛, nous indiquera le nombre total de franges lumineuses sur l’écran.

Maintenant, lorsqu’on fait cela, il peut sembler qu’il y ait un problème, en particulier à cause de la façon dont on a pris le sin 𝜃 dans cette équation. Afin de supposer que sin 𝜃 était à peu près égal à tan 𝜃 afin d’obtenir la variable 𝐿 au lieu de 𝐻, on a utilisé l’approximation du petit angle, qui ne marche que si 𝜃 est très petit. Et on peut clairement voir que les angles donnés lorsqu’on mesure sur tout l’écran ne sont pas très petits. Mais ce n’est pas un problème car cette équation ne fait que mesurer la distance entre deux franges lumineuses directement adjacentes à la fois et simplement les additionner ensemble, ce qui signifie que chaque sommation individuelle maintient toujours un petit angle, ce qui signifie que l’approximation du petit angle qu’on a faite est toujours correcte.

Très bien alors. Maintenant, avec cette clarification, commençons par remplacer nos variables, qui devraient ressembler à ceci. Et puisqu’on a mètres deux fois en haut et mètres deux fois en bas, tous doivent s’annuler. Donc, en insérant tout cela dans nos calculatrices, on doit obtenir environ 31,579. Mais on cherche le nombre de franges brillantes complètes sur l’écran. On ne peut pas avoir une partie d’une frange brillante. Pourtant, on n’arrondirait pas par excès dans ce cas, même si le nombre après la virgule est cinq. En effet, encore une fois, on ne peut pas avoir la moitié d’une frange brillante, et on ne cherche que le nombre total de franges brillantes complètes sur l’écran. Même si c’était 31.99, on dirait toujours qu’il n’y a que 31 franges brillantes observées sur l’écran. Donc, cette configuration spécifique, avec la lumière passant par les fentes vers l’écran opposé, produira 31 franges brillantes.

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