Transcription de la vidéo
Les courbes 𝐴 et 𝐵 sur le graphique sont les représentations graphiques des fonctions racine carrée. Elles sont symétriques par rapport à l'origine. L’équation de la courbe 𝐴 est 𝑦 égale un tiers racine de 𝑥 plus deux plus un. Sachant qu'une symétrie par rapport à l'origine est équivalente à une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥 suivie d'une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦, déterminez l'équation de la courbe 𝐵.
On nous dit dans cette question que le graphique 𝐴 se ramène au graphique 𝐵 en effectuant une rotation autour de l'origine et que cela est équivalent à une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥 suivie d'une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦. Rappelons donc la manipulation algébrique à appliquer à notre fonction qui permet d'obtenir ces résultats. Supposons que nous avons une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. La fonction 𝑦 égale à moins 𝑓 de 𝑥 est une symétrie de cette fonction initiale par rapport à l'axe des 𝑥. De même, le graphique de 𝑦 égale 𝑓 de moins 𝑥 est une symétrie de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 par rapport à l'axe des 𝑦. Nous voyons donc que nous allons prendre l'équation de notre graphique initial et que nous allons appliquer ces deux transformations.
Nous allons définir 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥 tel que 𝑓 de 𝑥 correspond à un tiers racine 𝑥 plus deux plus un. Cela pourra être mis en correspondance avec moins 𝑓 de 𝑥 par une symétrie par rapport à l'axe des 𝑥. Alors, pour réaliser cette symétrie par rapport à l'axe des 𝑥, évaluons moins 𝑓 de 𝑥. Nous trouvons cela simplement en multipliant toute l'expression par moins un. Nous avons donc moins un tiers racine de 𝑥 plus deux plus un. Nous distribuons moins un par chacun des termes des parenthèses et nous trouvons que moins 𝑓 de 𝑥 est moins un tiers racine 𝑥 de plus deux moins un. Nous avons donc obtenu notre symétrie par rapport à l'axe des 𝑥. Notre graphique de 𝑦 égale à moins 𝑓 de 𝑥 ressemblera donc à quelque chose comme ceci.
Nous voyons maintenant que nous devons effectuer notre symétrie par rapport à l'axe des 𝑦 pour l'associer au graphique 𝐵. Étant donné que nous associons moins 𝑓 de 𝑥 à cette fonction, il nous faut maintenant trouver moins 𝑓 de moins 𝑥. Cela va nous donner la symétrie du graphique de 𝑦 égale à moins 𝑓 de 𝑥 par rapport à l'axe des 𝑦. Il suffit de remplacer 𝑥 par moins 𝑥, ce qui donne moins un tiers racine de 𝑥 plus deux moins un. Nous avons donc l'équation de la courbe 𝐵. Nous remplaçons maintenant moins 𝑓 de moins 𝑥 par 𝑦 et nous avons 𝑦 égale moins un tiers racine de moins 𝑥 plus deux moins un.
Il est souvent utile de vérifier notre réponse lorsque c'est possible. Dans ce cas, nous pouvons choisir deux points situés sur la courbe 𝐵 et voir s'ils satisfont notre équation. Puisque quatre petits carrés représentent deux unités, deux petits carrés représentent une unité. Nous voyons donc que notre graphique passe par le point deux, moins un. Autrement dit, quand 𝑥 vaut deux, 𝑦 devrait être égal à moins un. Si nous substituons 𝑥 égale deux dans notre équation, nous obtenons 𝑦 égale moins un tiers fois racine carrée de moins deux plus deux moins un, soit moins un. Ce point satisfait donc bien notre équation.
Nous allons vérifier avec une autre coordonnée. Nous voyons que la courbe passe par environ zéro, moins 1.5. Nous substituons donc 𝑥 égale zéro dans notre équation et nous obtenons moins un tiers fois racine carrée de moins zéro plus deux moins un, ce qui donne, au centième près, moins 1.47. Ainsi, puisque notre graphique passe juste un peu au-dessus de moins 1.5 sur l'axe des 𝑦, nous pouvons en déduire que cette valeur est probablement correcte également.
