Transcription de la vidéo
Laquelle des suites d’entiers suivantes ne produit aucun nombres premiers ? Proposition (A) deux 𝑛 plus un, proposition (B) deux 𝑛 plus trois, proposition (C) deux 𝑛 plus quatre, ou proposition (D) deux 𝑛 plus cinq.
Nous pouvons commencer par rappeler qu’un nombre premier est un nombre qui n’est divisible que par un et par lui-même. Les nombres deux, trois et sept sont par exemple des nombres premiers. Le nombre neuf, cependant, n’est pas premier car en plus des facteurs un et neuf, nous savons que le nombre trois est également un facteur de neuf. Alors, combinons maintenant notre compréhension de la définition des nombres premiers avec les suites générées dans les quatre propositions données. Une suite peut être générée via un indice 𝑛. Habituellement, une suite commence par des termes ayant pour indices des valeurs entières de 𝑛 qui sont égales ou supérieures à un. Ainsi, le premier terme a pour indice un, le deuxième terme a pour indice deux, le troisième terme a pour indice trois et ainsi de suite. Pour trouver les termes d’une suite, nous prenons l’expression donnée du 𝑛-ième terme ou du terme général et nous remplaçons 𝑛 par la valeur de l’indice du terme que nous souhaitons déterminer.
Alors, prenons ce terme général qui nous est donné dans la proposition (A) et générons les termes de la suite. Nous pourrons alors voir si cette suite ne produira aucun nombre premier. En commençant par un indice égal à un, nous pouvons trouver le premier terme de la suite qui est égal à deux fois un plus un, ce qui nous donne une valeur de trois. Ainsi, la valeur du premier terme de cette suite est trois. Nous pourrions en fait continuer et remplacer 𝑛 par les valeurs deux, trois et ainsi de suite. Cependant, considérons le nombre trois. Trois n’a que deux facteurs, un et trois. Cela signifie donc que trois est un nombre premier. Par conséquent, si nous considérons la question « cette suite ne produit-elle aucun nombre premier ? » alors la réponse est non car le premier terme de la suite est clairement un nombre premier.
Répétons ce processus pour le 𝑛-ième terme qui est donné dans la proposition (B), soit le terme général deux 𝑛 plus trois. Le premier terme de cette suite a un indice 𝑛 égal à un. Cette fois, nous aurons deux fois un plus trois et cela nous donnera une valeur de cinq. Voyons si cinq est un nombre premier, a-t-il d’autres facteurs autres que un et cinq ? Puisque ce n’est pas le cas, nous savons que cinq est un nombre premier, ce qui signifie que nous pouvons écarter aussi la proposition (B). Nous savons en effet qu’il y aura au moins un nombre premier généré par ce terme général.
Répétons ceci avec la proposition (C). Le premier terme de cette suite sera égal à deux fois un plus quatre. Cela nous donne une valeur de six. Puisque nous savons que six a plus que deux facteurs, nous savons que ce n’est pas un nombre premier. Considérons donc d’autres termes de cette suite. Le deuxième terme de cette suite a un indice 𝑛 égal à deux. Nous allons donc calculer deux fois deux plus quatre. Cela nous donne une valeur de huit. Nous savons que huit n’est pas non plus un nombre premier. Nous pouvons continuer avec cette suite et le troisième terme de cette suite aura alors une valeur de 10. Nous pouvons commencer à voir réellement la logique derrière cette suite qui a pour termes six, huit 10, et ainsi de suite. Nous pourrions alors nous demander ce que nous pouvons dire de cette suite.
Nous pouvons remarquer que toutes les valeurs des termes de cette suite seront des nombres pairs. Bien sûr, que pouvons-nous dire des nombres premiers et des nombres pairs ? Bien, il n’y a en fait qu’un seul nombre premier qui est aussi un nombre pair et il s’agit de deux. Nous savons que tous les autres nombres pairs, à l’exception de deux, auront plus de deux facteurs. Puisque cette suite commence par la valeur de six et que la valeur des termes croît, elle n’inclura donc pas le nombre deux. Par conséquent, cette suite de terme général deux 𝑛 plus quatre ne produira aucun nombre premier. Nous avons ainsi la réponse à la question. Cependant, étudions également la dernière proposition.
Le premier terme qui serait généré par la suite dont le 𝑛-ième terme est deux 𝑛 plus cinq sera égal à deux fois un plus cinq et ce sera égal à sept. Cependant, nous savons que sept est un nombre premier. Ainsi, nous ne pouvons pas dire que cette suite ne produit pas de nombres premiers. Nous pouvons donc conclure que sur les quatre propositions fournies, il n’existe qu’une seule suite qui ne produit aucun nombre premier et il s’agit de la suite de terme général deux 𝑛 plus quatre.
