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Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs trois, cinq et six. Laquelle des fonctions suivantes pourraient représenter la loi de probabilité de 𝑋 ? (a) 𝑓 de 𝑥 égale à quatre 𝑥 plus cinq sur deux. (b) 𝑓 de 𝑥 égale à quatre sur cinq 𝑥 plus deux. (c) 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 au carré plus trois sur 10. Ou (d) 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 moins deux sur huit.
Rappelons d’abord que la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑋 est l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable, avec leurs probabilités associées. D’après l’énoncé, 𝑋 peut prend les valeurs trois, cinq et six. Ainsi, un tableau de sa loi de probabilité indique ces trois valeurs sur la première ligne, et les probabilités associées sur la deuxième ligne.
Si 𝑓 de 𝑥 représente la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète, alors elle doit vérifier deux propriétés. Premièrement, 𝑓 de 𝑥 doit être comprise entre zéro et un pour chaque valeur de de la variable aléatoire discrète. Deuxièmement, la somme de toutes les valeurs de 𝑓 de 𝑥 doit être égale à un. Autrement dit, la somme des probabilités de toutes les valeurs possibles de 𝑥 doit être égale à un.
Pour savoir si chacune de ces fonctions peut être la loi de probabilité de 𝑋, il faut calculer chaque fonction pour chaque valeur de 𝑥 trois, cinq et six, puis regarder si les valeurs obtenues vérifient les propriétés d’une loi de probabilité. Commençons par la fonction (a). En prenant d’abord 𝑥 égale à trois, nous obtenons 𝑓 de trois égale quatre multiplié par trois plus cinq sur deux. Cela donne 12 plus cinq sur deux, soit 17 sur deux ou 8,5.
En fait, on peut s’arrêter là parce que cette valeur est supérieure à un. Elle ne vérifie donc pas la première propriété d’une loi de probabilité, car la valeur 𝑓 de 𝑥 doit être comprise entre zéro et un pour chaque valeur de 𝑥. Nous pouvons donc éliminer la proposition (a).
Maintenant, examinons la proposition (b). Calculons 𝑓 de trois ; nous avons quatre sur cinq multiplié par trois plus deux. Cela fait quatre sur 15 plus deux, soit quatre sur 17. C’est très bien, puisque c’est compris entre zéro et un. 𝑓 de cinq égale quatre sur cinq multiplié par cinq plus deux. Cela fait quatre sur 27. Cette valeur est aussi comprise entre zéro et un, nous allons donc continuer. Enfin, 𝑓 de six égale quatre sur cinq multiplié par six plus deux, soit quatre sur 32. Cette valeur est comprise entre zéro et un. La première propriété d’une loi de probabilité est donc vérifiée.
Ensuite, il faut regarder si la somme de ces trois valeurs est égale à un. Nous avons donc quatre sur 17 plus quatre sur 27 plus quatre sur 32. Ce n’est pas une très jolie somme, elle est égale à 1867 sur 3672. Elle n’est certainement pas égale à un.
On peut aussi le voir en remarquant que chaque fraction de cette somme est inférieure à un tiers, donc leur somme est inférieure à un. Nous constatons donc que, bien que la première propriété des lois de probabilité soit vérifiée, la deuxième ne l’est pas. Et donc (b) ne peut pas être la loi de probabilité de 𝑋.
Ensuite, examinons la proposition (c). Prenons 𝑥 égale trois ; nous avons 𝑓 de trois égale trois au carré plus trois sur 10. C’est égal à neuf plus trois sur 10, donc 12 sur 10, soit 1,2. On peut s’arrêter là parce que cette valeur est supérieure à un. Et donc, la première propriété des lois de probabilité n’est pas vérifiée pour la proposition (c).
On s’attend donc à ce que la bonne réponse soit (d), puisque c’est le seul choix restant, mais il faut le vérifier. Prenons 𝑥 égale trois, nous avons 𝑓 de trois égale trois moins deux sur huit, ce qui se simplifie à un huitième. 𝑓 de cinq égale cinq moins deux sur huit, ce qui se simplifie à trois huitièmes. 𝑓 de six égale six moins deux sur huit, ce qui se simplifie à quatre huitièmes. Bien sûr, ça se simplifie à un demi, mais gardons ce dénominateur de huit pour l’instant.
Chacune de ces fractions est bien comprise entre zéro et un. La première propriété des lois de probabilité est donc vérifiée. Additionnons ces trois valeurs, nous avons un huitième plus trois huitièmes plus quatre huitièmes, ce qui est égal à huit huitièmes. Bien sûr, c’est égal à un. Ainsi, la deuxième propriété, la somme des probabilités doit être égale à un, est également vérifiée.
La réponse est donc la fonction (d), 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins deux sur huit, car c’est la seule des quatre fonctions qui vérifie les deux propriétés nécessaires des lois de probabilité.
