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Vidéo de question : Étude de la résultante de deux forces coplanaires agissant en un point Mathématiques

Deux forces d’intensité 𝐹₁ = 39 N et 𝐹₂ = 39√2 N agissent en un point. L’angle que leurs vecteurs respectifs forme mesure 45 °. Déterminez 𝑅, l’intensité de la résultante, ainsi que la mesure de 𝜃, l’angle entre leur résultante et la force d’intensité 𝐹₁. Arrondissez ce dernier résultat à la minute d’arc près.

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Transcription de vidéo

Deux forces d’intensité 𝐹 indice un égal à 39 newtons et 𝐹 indice deux égal à 39 racine de deux newtons agissent en un point. L’angle que leurs vecteurs respectifs forme mesure 45 degrés. Déterminez 𝑅, l’intensité de la résultante, ainsi que la mesure de 𝜃, la l’angle entre leur résultante et la force d’intensité 𝐹 un. Arrondissez ce dernier résultat à la minute d’arc près.

Commençons par esquisser un schéma montrant les deux forces 𝐹 indice un et 𝐹 indice deux agissant en un point. Supposons que 𝐹 indice un agit dans la direction de l’axe des positif comme indiqué. Ensuite, nous pouvons construire 𝐹 indice deux à un angle de 45 degrés. Nous avons alors leur force résultante. Si nous pensons à chacune de ces forces comme étant des quantités vectorielles, le vecteur résultant 𝐑 est la somme du vecteur 𝐅 indice un et du vecteur 𝐅 indice deux comme indiqué. Et cela signifie que nous pouvons construire un triangle de forces en utilisant 𝐹 indice un, 𝐹 indice deux et 𝑅. Ensuite, puisque nous avons une paire de droites parallèles, nous pouvons trouver l’angle entre 𝐹 indice un et 𝐹 indice deux - appelons cela 𝜃 - en reconnaissant que 𝜃 et 45 degrés sont supplémentaires. Ils totalisent 180 degrés. Donc 𝜃 est 180 moins 45, ce qui est 135. Il fait 135 degrés.

Si nous pensons aux côtés du triangle comme représentant simplement l’intensité de chaque force, nous voyons que nous pouvons utiliser la trigonométrie d’un triangle quelconque pour trouver l’intensité de 𝑅. Dans ce cas, la loi des cosinus peut être utilisée. En étiquetant le côté que nous essayons de trouver 𝑎 minuscule, on vérifie que 𝑎 carré est égal à 𝑏 carré plus 𝑐 carré moins deux 𝑏𝑐 cos 𝐴. Donc 𝑅 au carré est égal à 39 racine de deux au carré plus 39 au carré moins deux fois 39 racine de deux fois 39 cosinus de 135. 39 racine de deux au carré plus 39 au carré est 4563. Ensuite, cosinus de 135 est moins racine de deux sur deux. La deuxième partie se simplifie donc en moins 3042 racine de deux fois moins racine deux sur deux. Ceci signifie que 𝑅 au carré est 4563 plus 3042, ce qui correspond à 7605.

Pour trouver la valeur de 𝑅, qui représente une intensité et donc elle doit être positive, nous prenons la racine carrée. La racine carrée de 7605 est 39 racine de cinq. Ainsi la valeur de 𝑅, l’intensité de la résultante, est 39 racine cinq newtons.

La prochaine partie de cette question veut que nous trouvions 𝜃, la valeur de l’angle entre la résultante et 𝐹 un. Ne pas confondre avec la valeur antérieure de 𝜃 qu’on a trouvée, c’est la mesure de l’angle 𝐵 dans le triangle que nous venons de dessiner. Cette fois, nous pouvons utiliser la loi des sinus pour nous aider à calculer la valeur de 𝜃. Nous allons utiliser sinus 𝐵 sur 𝑏 est égal à sinus sur 𝑎. Nous venons d’établir la valeur de 𝑎 à 39 racine de cinq. Nous obtenons donc sinus 𝜃 sur 39 racine de deux est égal à sinus 135 sur 39 racine de cinq. Ensuite, nous multiplions par 39 racine de deux. Lorsque nous le faisons, les 39 s’annulent, et nous trouvons que sinus 𝜃 est racine de deux sinus 135 sur racine de cinq.

Afin de nous assurer que nous travaillons avec des valeurs exactes, prenons simplement la réciproque ou l’arcsinus des deux membres de cette équation pour trouver la valeur de 𝜃. Lorsque nous le faisons, nous obtenons que 𝜃 est 26,565 etcetera. Pour arrondir ceci à la minute près, nous allons prendre la partie décimale et multiplier par 60. En faisant cela, nous obtenons 33,9 etcetera. Arrondi à l’entier près, c’est 34. Et donc 𝜃 est 26 degrés et 34 minutes. Ainsi la valeur de 𝑅, l’intensité de la résultante, est 39 fois racine cinq newtons. Et l’angle entre la résultante et 𝐹 un, 𝜃, est 26 degrés et 34 minutes.

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