Transcription de la vidéo
Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers plus l’∞ de sept 𝑥 au carré plus huit 𝑥 plus quatre, le tout divisé par cinq 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré.
La question nous demande d’évaluer la limite lorsque 𝑥 tend vers plus l’∞ d’une fonction rationnelle. Nous appelons cela une fonction rationnelle parce que c’est le quotient de deux polynômes. Appelons le polynôme de notre numérateur 𝑃 de 𝑥 et le polynôme de notre dénominateur 𝑄 de 𝑥. Nous savons comment trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers plus l’∞ de la fonction rationnelle 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥. Tout d’abord, nous trouvons la plus grande puissance de 𝑥 qui apparaît dans l’un de nos polynômes, 𝑃 de 𝑥 ou 𝑄 de 𝑥. Deuxièmement, nous divisons nos deux polynômes par cette puissance 𝑥. Troisièmement, il nous suffit d’évaluer la limite de cette nouvelle fonction.
Appliquons donc cette méthode à la limite qui nous est donnée dans la question. Tout d’abord, nous devons trouver la plus grande puissance de 𝑥 qui apparaît soit dans 𝑃 de 𝑥, soit dans 𝑄 de 𝑥. Nous pouvons voir que la puissance la plus élevée de 𝑥 dans notre numérateur est 𝑥 au carré et la puissance la plus élevée de 𝑥 dans notre dénominateur est 𝑥 au cube. Et 𝑥 au cube est une puissance supérieure de 𝑥 que 𝑥 au carré. Nous allons donc utiliser 𝑥 au cube.
La prochaine étape consiste à diviser 𝑃 de 𝑥 et 𝑄 de 𝑥 par 𝑥 au cube. Nous avons donc la limite lorsque 𝑥 tend vers plus l’∞ de notre fonction rationnelle est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers plus l’∞ de sept 𝑥 au carré plus huit 𝑥 plus quatre divisé par 𝑥 au cube. Et puis nous divisons tout cela par cinq 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré divisé par 𝑥 au cube. Et, rappelez-vous, nous ne changeons pas la valeur de notre limite parce que nous divisons le numérateur et le dénominateur par la même valeur de 𝑥 au cube. En divisant notre numérateur par 𝑥 au cube, nous obtenons sept sur 𝑥 plus huit sur 𝑥 au carré plus quatre sur 𝑥 au cube. Et puis en divisant notre dénominateur par 𝑥 au cube, nous obtenons cinq plus trois sur 𝑥.
Nous voulons maintenant calculer cette nouvelle limite. Et, en fait, nous pouvons le faire directement. Nous voyons quelle est notre limite lorsque 𝑥 approche plus l’∞. Nous pouvons voir que sept sur 𝑥, huit sur 𝑥 au carré, quatre sur 𝑥 au cube et trois sur 𝑥 se rapprochent tous de zéro lorsque 𝑥 tend vers plus l’∞. Car ils ont tous un numérateur constant. Cependant, leurs dénominateurs deviennent de plus en plus grands sans limite. Donc, tous les termes de notre numérateur se rapprochent de zéro. Et le seul terme qui reste au dénominateur est la constante cinq. Donc, cela tend vers cinq. La valeur de cette limite est donc zéro divisée par cinq, ce qui est bien sûr égal à zéro.
Par conséquent, en divisant notre numérateur et notre dénominateur par la plus grande puissance de 𝑥 trouvée dans notre fonction rationnelle, nous avons montré que la limite lorsque 𝑥 tend vers plus l’∞ de sept 𝑥 au carré plus huit 𝑥 plus quatre divisé par cinq 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré est égal à zéro.
