Transcription de la vidéo
Calculez le produit vectoriel de 𝐢 croix 𝐣.
Nous voyons qu’il s’agit d’une question sur les produits vectoriels, et on nous demande de calculer le produit vectoriel des vecteurs 𝐢 et 𝐣. Alors, 𝐢 est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et 𝐣 est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦. Comme on nous demande de calculer un produit vectoriel, commençons par rappeler l’expression générale du produit vectoriel entre deux vecteurs. Nous appellerons ces vecteurs 𝐀 et 𝐁, et nous supposerons que les deux se trouvent dans le plan 𝑥𝑦.
Nous pouvons écrire les vecteurs en fonction de leurs composantes comme 𝐀 est égal à une composante 𝑥, 𝐴 indice 𝑥 multiplié par 𝐢, plus une composante 𝑦, 𝐴 indice 𝑦 multiplié par 𝐣, et de même pour le vecteur 𝐁. Ensuite, le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁 est défini comme la composante 𝑥 de 𝐀 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐁 moins la composante 𝑦 de 𝐀 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐁, et le tout multiplié par un vecteur unitaire 𝐤, qui est orienté selon la direction 𝑧. C’est le cas général. Maintenant, appliquons-le à nos deux vecteurs 𝐢 et 𝐣.
Pour utiliser cette expression, nous devons identifier les composantes 𝑥 et 𝑦 des vecteurs 𝐢 et 𝐣. Nous pouvons écrire le vecteur 𝐢 comme un multiplié par 𝐢 plus zéro multiplié par 𝐣. Cela signifie que 𝐢, le vecteur unitaire dans la direction 𝑥, s’étend d’une unité le long de 𝑥 et de zéro unité le long de 𝑦, ce qui est évidemment logique. De la même manière, nous pouvons réécrire le vecteur 𝐣 comme zéro multiplié par 𝐢 plus un multiplié par 𝐣. Ensuite, nous devons utiliser notre expression générale pour évaluer le produit vectoriel de 𝐢 croix 𝐣.
En regardant le premier terme de l’expression, nous voyons que nous avons besoin de la composante 𝑥 du premier vecteur de notre produit vectoriel, qui dans notre cas est 𝐢, multipliée par la composante 𝑦 du deuxième vecteur de notre produit vectoriel, qui dans notre cas est 𝐣. Maintenant, la composante 𝑥 de 𝐢 est un, et la composante 𝑦 de 𝐣 est aussi un. Donc, nous avons pour notre premier terme un multiplié par un. Ensuite, nous soustrayons notre deuxième terme. En regardant à nouveau notre expression pour le produit vectoriel, nous voyons que le deuxième terme est donné par la composante 𝑦 du premier vecteur 𝐢, qui est zéro, multipliée par la composante 𝑥 du deuxième vecteur 𝐣, qui est également zéro. Ainsi, le deuxième terme est zéro multiplié par zéro. Tout cela est ensuite multiplié par le vecteur unitaire 𝐤.
La dernière étape consiste à évaluer cette partie ici. Le premier terme est un multiplié par un, ce qui nous donne un. Et le deuxième terme est zéro multiplié par zéro, ce qui nous donne zéro. Donc, nous avons un moins zéro, ce qui nous donne un. Donc, nous en avons un multiplié par 𝐤. Bien sûr, nous pouvons écrire cela plus simplement comme 𝐤.
Et donc, nous sommes arrivés à notre réponse à la question que le résultat du produit vectoriel de 𝐢 croix 𝐣 est 𝐤, le vecteur unitaire dans la direction 𝑧.
