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Vidéo de la leçon : Première loi de Newton Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes en utilisant la première loi de Newton.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes en utilisant la première loi de Newton, parfois appelée principe d’inertie.

Isaac Newton a présenté trois lois du mouvement dans un livre, souvent appelé Principia en 1686. Ces lois décrivent le mouvement des corps et leur interaction, et la mécanique classique sous-jacente telle que nous la connaissons aujourd’hui. Et ils étaient révolutionnaires à l’époque car ils permettaient aux mathématiciens et aux physiciens de prendre des scénarios assez compliqués et de les simplifier. En pensant à ces corps comme des masses ponctuelles, cela signifie qu’ils pouvaient les considérer comme des points sans taille ni rotation et devaient ignorer des facteurs tels que les frottements du sol ou de l’air.

Donc, nous nous intéressons à la première loi de Newton. Cette loi est parfois appelée principe d’inertie. Et elle stipule qu’un objet reste au repos ou en mouvement uniforme en ligne droite à moins qu’il ne soit soumis à une force extérieure. En d’autres termes, s’il n’y a pas de force résultante, c’est-à-dire si les forces agissant sur le corps s’annulent, l’objet maintient une vitesse constante. Si cette vitesse est nulle, alors l’objet est au repos. Dans ce cas, nous disons que le système de forces est en équilibre. La résultante de ces forces est égale à zéro.

Maintenant, il existe de nombreuses applications réelles de cette loi. Par exemple, imaginez que vous êtes dans une voiture en mouvement avec une tasse de café bien remplie. Si cette voiture se déplace à une vitesse constante, le café restera bien dans la tasse, laissant votre pantalon propre. Cependant, appliquez une force externe, par exemple en freinant, et le café va tout simplement continuer à avancer à la même vitesse et dans la même direction qu’avant. Maintenant, ce n’est pas seulement votre joli pantalon qui est en danger, mais aussi le tableau de bord et même le pare-brise de la voiture.

Alors maintenant, nous avons la première loi de Newton et un petit contexte, voyons comment l’appliquer à un système de forces agissant en deux dimensions.

Dans la figure donnée, le corps est au repos sous l’action d’un système de forces. Étant donné que les forces sont mesurées en newtons, trouvez les normes de 𝐹 et 𝑘.

La figure nous montre un corps au repos, et un certain nombre de forces agissent sur lui. Et donc, nous allons rappeler la première loi de Newton. Cela signifie que s’il n’y a pas de force résultante, en d’autres termes, si les forces agissant sur le corps s’annulent entre elles, l’objet maintient une vitesse constante. Maintenant, si cette vitesse est nulle, alors l’objet reste au repos. Donc, pour que le corps reste au repos, sous l’action de ces forces, il faut que la somme des forces soit égale à zéro. Ceci est connu comme l’équilibre.

Maintenant, puisque nos forces agissent en deux dimensions, nous pourrions en fait considérer les directions horizontale et verticale séparément. Ou nous pourrions penser à cela en termes de vecteurs. Dans ce cas, nous aurions besoin que la somme vectorielle de nos forces soit égale à zéro. En fait, nous allons juste considérer les directions horizontale et verticale séparément. Nous allons commencer par la direction verticale, et nous allons prendre le sens positif vers le haut. Nous avons une force de 57 newtons agissant vers le haut. Et puis, nous avons une force 𝐹 agissant vers le bas, et donc cela agit dans le sens négatif. Et nous disons que la somme des forces dans la direction verticale est de 57 moins 𝐹.

Pour que le corps reste au repos, nous savons que la somme de ces forces est nulle. Donc, 57 moins 𝐹 est égal à zéro. Nous allons résoudre cette équation pour trouver la valeur de 𝐹 en ajoutant 𝐹 des deux côtés. Et quand nous le faisons, nous constatons que 57 est égal à 𝐹 ou 𝐹 est égal à 57. Et bien sûr, on nous dit que ces mesures sont en newtons. Donc, 𝐹 doit être 57 newtons.

Considérons maintenant la direction horizontale. On choisit le sens positif vers la droite. Dans cette direction, on a 27 et 66 newtons. Ensuite, dans l’autre sens, dans le sens négatif, on a 𝑘. Ainsi, la somme des forces agissant horizontalement est 27 plus 66 moins 𝑘. Encore une fois, on sait que cela est égal à zéro. Donc, on a une équation en fonction de 𝑘. 27 plus 66 est égal à 93. Donc, notre équation se simplifie comme 93 moins 𝑘 est égal à zéro. Cette fois, on résout en ajoutant 𝑘 des deux côtés, et on obtient 93 est égal à 𝑘. Encore une fois, nos mesures sont en newtons. Donc, 𝑘 doit être égal à 93 newtons. Et donc, les normes de 𝐹 et 𝑘, rappelez-vous, ce n’est que la taille des forces, sont respectivement de 57 et 93 newtons.

Nous allons maintenant voir à quoi ressemble ce processus lorsque l’objet est en mouvement.

Sur la figure, le corps se déplace à une vitesse constante 𝑣 sous l’action d’un système de forces. Étant donné que les forces sont mesurées en newtons, trouvez les normes de 𝐹 et 𝑘.

On nous dit que ce corps se déplace à une vitesse constante sous l’action d’un certain nombre de forces. Et donc, nous sommes en mesure de rappeler la première loi de Newton. Cela signifie que s’il n’y a pas de force résultante, en d’autres termes, les forces agissant sur le corps s’annulent, l’objet maintient une vitesse constante. Ainsi, pour que le corps maintienne sa vitesse constante sous l’action du système de forces, on a besoin que la somme des forces soit égale à zéro. Maintenant, en fait, nos forces agissent en deux dimensions. Ainsi, nous pourrions considérer les directions horizontale et verticale séparément ou y penser comme un vecteur tel que la somme vectorielle des forces est égale à zéro.

Nous allons considérer cela comme deux directions, et nous allons d’abord considérer la direction verticale. Prenons positif le sens vers le haut. Peu importe le sens que nous choisissons comme positif tant que nous sommes cohérents tout au long de la question. La seule force que l’on a dans ce sens est la force 𝐹. Si nous regardons attentivement, nous voyons que la force qui est parallèle à 𝐹 est de 20, et qu’elle agit dans le sens opposé. Ainsi, la somme de ces deux forces doit être 𝐹 moins 20.

On a également une force de 31 newtons agissant dans le sens négatif. Ainsi, la somme de toutes nos forces agissant verticalement est 𝐹 moins 20 moins 31. Et bien sûr, nous savons que cela doit être égal à zéro pour que l’objet conserve une vitesse constante. Simplifions donc l’expression. Moins 20 moins 31 devient moins 51. Ainsi, la somme de nos forces est 𝐹 moins 51. Et notre équation est 𝐹 moins 51 est égal à zéro. Pour résoudre cette équation, pour trouver la valeur de 𝐹, nous allons simplement ajouter 51 aux deux côtés. Et quand nous le faisons, nous trouvons que 𝐹 est égal à 51. On nous a dit que les forces sont mesurées en newtons. Donc, nous pouvons dire que 𝐹 doit valoir elle-même 51 newtons.

Nous allons maintenant répéter ce processus dans la direction horizontale. Cette fois, se déplacer vers la droite correspond au sens positif. La force donnée par la flèche agissant dans ce sens est 𝑘 newtons. Ensuite, dans le sens opposé, on a 79 newtons. Ainsi, la somme des forces agissant sur ce corps dans la direction horizontale est 𝑘 moins 79. Encore une fois, nous pouvons définir ceci comme étant égal à zéro car on nous dit que l’objet a une vitesse constante. Ensuite, nous résolvons pour trouver 𝑘. On ajoute 79 des deux côtés. Et quand nous le faisons, on trouver que 𝑘 est égal à 79 ou 79 newtons. 𝐹 est donc égal à 51 newtons et 𝑘 est égal à 79 newtons.

Alors, qu’est-ce que cela signifie si une ou plusieurs des forces agissant sur l’objet agissent avec un angle ? Eh bien, essentiellement, c’est la même chose tant que nous faisons vraiment attention à considérer la direction et le sens de ces forces. Essayons voir.

Un corps de masse 20 kilogrammes est tiré le long d’un plan horizontal par une corde qui fait un angle 𝜃 avec le plan, où tan de 𝜃 est égal à cinq douzièmes. Lorsque la tension dans la corde est de 91 newtons, le corps se déplace avec une vitesse constante. Trouver la force de résistance au mouvement 𝐹 et la réaction normale 𝑅. Prendre 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde carrée.

Commençons par faire un schéma. Le corps a une masse de 20 kilogrammes, ce qui signifie qu’il exerce une force descendante de 20𝑔 sur le plan. Il est tiré par une corde qui fait un angle 𝜃 avec le plan. Et puis, on nous dit que lorsque la tension est de 91 newtons, le corps se déplace avec une vitesse constante. Ainsi, la force qui tire réellement le corps est de 91 newtons.

En fait, il y a une autre force qui nous intéresse, et cela sort un peu du cadre de cette vidéo de mener cela trop en détail. Mais la troisième loi de Newton sur le mouvement nous dit que pour chaque action, il y a une réaction égale et opposée. Donc, il y a une force de réaction normale du plan sur le corps. C’est le résultat de la force du poids du corps sur le plan. Elle pousse le corps vers le haut et loin du plan, comme indiqué. Enfin, ajoutons la résistance au mouvement 𝐹. Nous pouvons supposer que cela agit parallèlement au plan, comme indiqué. Cela pourrait être, disons, une force de frottement du sol ou de l’air.

Maintenant, on a toutes les forces dans notre schéma. Et on nous dit que le corps se déplace avec une vitesse uniforme. Ainsi, la première loi de Newton nous dit que pour que ce soit le cas, la résultante des forces dans les deux directions horizontale et verticale doit être égale à zéro. Donc, nous allons devoir comparer les forces dans les directions horizontale et verticale. Cela signifie cependant que nous devons être très prudents avec la force de tension qui agit avec un angle. Et donc, si nous ajoutons un triangle rectangle comme indiqué, nous voyons qu’il y a des composantes de cette force qui agissent à la fois dans la direction horizontale et dans la direction verticale.

Nous devons donc utiliser la trigonométrie du triangle rectangle pour trouver ces composantes. L’hypoténuse de ce triangle est de 91 newtons. Et puis, la composante qui agit dans la direction verticale est le côté opposé. Et la direction horizontale est le côté adjacent. Et donc, nous allons commencer par considérer les forces qui agissent dans la direction horizontale. Définissons le côté adjacent dans notre triangle rectangle comme étant 𝑥 newtons. Si nous prenons alors le sens vers la droite comme positif, nous pouvons dire que la somme des forces agissant dans la direction horizontale est 𝑥 moins 𝐹.

Ensuite, puisque le corps se déplace avec une vitesse uniforme, on peut dire que la somme de ces forces est égale à zéro. Lorsque nous résolvons pour trouver 𝐹 en ajoutant 𝐹 des deux côtés, nous trouvons que 𝐹 est égal à 𝑥. Nous sommes en mesure d’évaluer la valeur de 𝑥 en utilisant le rapport cosinus, puisque nous connaissons l’hypoténuse et nous essayons de trouver le côté adjacent. On peut dire que cos de 𝜃 vaut 𝑥 divisé par 91. Donc, en multipliant par 91, on obtient 𝑥 égal 91 cos 𝜃.

Mais nous n’avons pas encore utilisé le fait que tan de 𝜃 est de cinq douzièmes. Et donc, puisque tan de 𝜃 est le côté opposé sur le côté adjacent, nous pouvons construire un triangle plus général. Dans ce triangle, la longueur du côté opposé à 𝜃 est de cinq unités et son côté adjacent est de 12 unités. On a la relation de Pythagore de cinq au carré plus 12 au carré est égal à 13 au carré, et donc, l’hypoténuse doit être 13. Et donc, cos de 𝜃 pour notre angle qui est côté adjacent sur hypoténuse doit être de 12 sur 13. Et donc, 𝑥 est 91 fois 12 sur 13, et c’est égal à 84. Puisque 𝐹 est égal à 𝑥, on peut dire que 𝐹 doit aussi être égal à 84. Et toutes nos mesures sont en newtons, donc 𝐹 vaut 84 newtons.

Nous devrons effectuer un processus similaire, mais cette fois dans la direction verticale. Et cela nous permettra de calculer la valeur de 𝑅. Nous allons définir le sens positif vers le haut. Et nous allons aussi dire que la longueur du côté de notre triangle rectangle opposé à l’angle 𝜃 est égale à 𝑦. Cela agit également vers le haut. Donc, vers le haut, on a 𝑅 plus 𝑦. Et puis, on a 20𝑔 agissant dans le sens opposé. Ainsi, la somme des forces est 𝑅 plus 𝑦 moins 20𝑔. Et encore une fois, cela doit être égal à zéro. Nous allons ajouter 20𝑔 aux deux côtés de cette équation et soustraire 𝑦, et nous obtenons 𝑅 est égal à 20𝑔 moins 𝑦.

Mais nous devons maintenant déterminer la valeur de 𝑦. Et donc, encore une fois, nous allons utiliser la trigonométrie du triangle rectangle. Cette fois, nous utilisons le rapport du sinus puisque le sinus correspond au côté opposé sur l’hypoténuse. Donc, le sinus 𝜃 est 𝑦 sur 91. Et donc, en résolvant pour trouver 𝑦, nous obtenons 𝑦 égal 91 sin 𝜃. Mais revenons à notre triangle plus général. Nous savons que le côté opposé dans ce triangle est cinq et son hypoténuse est 13. Et donc, le sin de 𝜃 doit être cinq treizièmes et 𝑦 vaut 91 fois cinq treizièmes. Ce qui est égal à 35.

Notre équation précédente devient donc 𝑅 égal 20𝑔 moins 35. Mais bien sûr, on nous a dit que 𝑔 est 9.8. Donc, cela devient 20 fois 9.8 moins 35, soit 161 ou 161 newtons. La force de résistance 𝐹 est alors de 84 newtons, et la réaction normale 𝑅 est de 161 newtons.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment utiliser la première loi de Newton pour calculer une vitesse.

Un soldat saute d’un avion avec un parachute. Après avoir ouvert son parachute, la force de frottement devient directement proportionnelle au cube de sa vitesse. Lorsque sa vitesse est de 19 kilomètres par heure, la force de frottement vaut un vingt-septième du poids total de lui et de son parachute. Déterminer la vitesse maximale de sa chute.

Traçons un petit schéma. Voici le soldat qui plonge dans le ciel. La force vers le bas de son poids est ce qui le pousse dans sa chute. Ensuite, on a une force de frottement du parachute, c’est 𝑅. Et elle agit dans le sens opposé. On nous dit que la force de frottement est directement proportionnelle au cube de sa vitesse. Alors, mettons sa vitesse égale à 𝑣, en kilomètres par heure. Pour que cela soit le cas, 𝑅 doit être égal à 𝑘 fois 𝑣 au cube, où 𝑘 est connu comme la constante de proportionnalité. Trouvons une expression pour 𝑘 en utilisant le reste des informations dans cette question.

Lorsque sa vitesse est de 19, la force de frottement est un vingt-septième du poids combiné de lui et de son parachute. Ainsi, lorsque 𝑣 est 19, 𝑅 est un vingt-septième fois 𝑤. On peut donc dire qu’un vingt-septième fois 𝑤 est 𝑘 fois 19 au cube. Cela signifie que 𝑘 est un vingt-septième 𝑤 divisé par 19 au cube. Ce qui équivaut à 𝑤 divisé par 27 fois 19 au cube. Maintenant, nous ne calculerons pas cela et nous verrons pourquoi dans un instant. Nous pouvons donc remplacer cela dans notre équation précédente et dire que 𝑅 est 𝑤𝑣 au cube sur 27 fois 19 au cube.

Maintenant, on nous dit qu’à un moment donné, le soldat atteint une vitesse maximale. À ce stade, la vitesse restera inchangée. Or, pour que la vitesse reste uniforme, la première loi de mouvement de Newton dit que la somme de toutes les forces dans cette direction doit être égale à zéro. Prenons le sens positif vers le bas. On peut dire que le poids moins la force de réaction est la somme de ces forces. Donc, 𝑤 moins 𝑅 est égal à zéro. Ensuite, en ajoutant 𝑅 des deux côtés, nous obtenons 𝑤 est égal à 𝑅.

Mais remplaçons 𝑅 par l’expression précédente en termes de 𝑤 et 𝑣. Et puisque 𝑤 n’est pas égal à zéro, nous pouvons diviser les deux côtés de cette équation par 𝑤. Donc, un égal à 𝑣 au cube sur 27 fois 19 au cube. Nous allons ensuite multiplier les deux côtés par 27 fois 19 au cube. Et enfin, on prend la racine cubique des deux côtés. La racine cubique de 27 est trois et la racine cubique de 19 au cube est 19. Donc, on trouve que trois fois 19 est égal à 𝑣, mais trois fois 19 est 57. Donc, 𝑣 est égal à 57 kilomètres par heure.

Récapitulons les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, on a vu que nous pouvons considérer les corps comme des points sans taille ni rotation. Et cela signifie que nous pouvons ignorer des facteurs externes tels que les frottements du sol ou de l’air. La première loi de Newton stipule que s’il n’y a pas de force résultante, c’est-à-dire si les forces agissant sur le corps s’annulent, l’objet maintient une vitesse constante. Maintenant, bien sûr, si cette vitesse est nulle, alors l’objet doit rester au repos. Dans ce cas, on dit que le système de forces est en équilibre, leur somme est égale à zéro. Enfin, on a vu que lorsque nous travaillons avec des forces agissant dans une direction autre que l’horizontale ou la verticale, nous pouvons utiliser la trigonométrie du triangle rectangle pour les décomposer en composantes dont on a besoin.

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