Transcription de la vidéo
Dans cette vidĂ©o, nous allons apprendre Ă rĂ©soudre des problĂšmes en utilisant la premiĂšre loi de Newton, parfois appelĂ©e principe dâinertie.
Isaac Newton a prĂ©sentĂ© trois lois du mouvement dans un livre, souvent appelĂ© Principia en 1686. Ces lois dĂ©crivent le mouvement des corps et leur interaction, et la mĂ©canique classique sous-jacente telle que nous la connaissons aujourdâhui. Et ils Ă©taient rĂ©volutionnaires Ă lâĂ©poque car ils permettaient aux mathĂ©maticiens et aux physiciens de prendre des scĂ©narios assez compliquĂ©s et de les simplifier. En pensant Ă ces corps comme des masses ponctuelles, cela signifie quâils pouvaient les considĂ©rer comme des points sans taille ni rotation et devaient ignorer des facteurs tels que les frottements du sol ou de lâair.
Donc, nous nous intĂ©ressons Ă la premiĂšre loi de Newton. Cette loi est parfois appelĂ©e principe dâinertie. Et elle stipule quâun objet reste au repos ou en mouvement uniforme en ligne droite Ă moins quâil ne soit soumis Ă une force extĂ©rieure. En dâautres termes, sâil nây a pas de force rĂ©sultante, câest-Ă -dire si les forces agissant sur le corps sâannulent, lâobjet maintient une vitesse constante. Si cette vitesse est nulle, alors lâobjet est au repos. Dans ce cas, nous disons que le systĂšme de forces est en Ă©quilibre. La rĂ©sultante de ces forces est Ă©gale Ă zĂ©ro.
Maintenant, il existe de nombreuses applications rĂ©elles de cette loi. Par exemple, imaginez que vous ĂȘtes dans une voiture en mouvement avec une tasse de cafĂ© bien remplie. Si cette voiture se dĂ©place Ă une vitesse constante, le cafĂ© restera bien dans la tasse, laissant votre pantalon propre. Cependant, appliquez une force externe, par exemple en freinant, et le cafĂ© va tout simplement continuer Ă avancer Ă la mĂȘme vitesse et dans la mĂȘme direction quâavant. Maintenant, ce nâest pas seulement votre joli pantalon qui est en danger, mais aussi le tableau de bord et mĂȘme le pare-brise de la voiture.
Alors maintenant, nous avons la premiĂšre loi de Newton et un petit contexte, voyons comment lâappliquer Ă un systĂšme de forces agissant en deux dimensions.
Dans la figure donnĂ©e, le corps est au repos sous lâaction dâun systĂšme de forces. Ătant donnĂ© que les forces sont mesurĂ©es en newtons, trouvez les normes de đč et đ.
La figure nous montre un corps au repos, et un certain nombre de forces agissent sur lui. Et donc, nous allons rappeler la premiĂšre loi de Newton. Cela signifie que sâil nây a pas de force rĂ©sultante, en dâautres termes, si les forces agissant sur le corps sâannulent entre elles, lâobjet maintient une vitesse constante. Maintenant, si cette vitesse est nulle, alors lâobjet reste au repos. Donc, pour que le corps reste au repos, sous lâaction de ces forces, il faut que la somme des forces soit Ă©gale Ă zĂ©ro. Ceci est connu comme lâĂ©quilibre.
Maintenant, puisque nos forces agissent en deux dimensions, nous pourrions en fait considĂ©rer les directions horizontale et verticale sĂ©parĂ©ment. Ou nous pourrions penser Ă cela en termes de vecteurs. Dans ce cas, nous aurions besoin que la somme vectorielle de nos forces soit Ă©gale Ă zĂ©ro. En fait, nous allons juste considĂ©rer les directions horizontale et verticale sĂ©parĂ©ment. Nous allons commencer par la direction verticale, et nous allons prendre le sens positif vers le haut. Nous avons une force de 57 newtons agissant vers le haut. Et puis, nous avons une force đč agissant vers le bas, et donc cela agit dans le sens nĂ©gatif. Et nous disons que la somme des forces dans la direction verticale est de 57 moins đč.
Pour que le corps reste au repos, nous savons que la somme de ces forces est nulle. Donc, 57 moins đč est Ă©gal Ă zĂ©ro. Nous allons rĂ©soudre cette Ă©quation pour trouver la valeur de đč en ajoutant đč des deux cĂŽtĂ©s. Et quand nous le faisons, nous constatons que 57 est Ă©gal Ă đč ou đč est Ă©gal Ă 57. Et bien sĂ»r, on nous dit que ces mesures sont en newtons. Donc, đč doit ĂȘtre 57 newtons.
ConsidĂ©rons maintenant la direction horizontale. On choisit le sens positif vers la droite. Dans cette direction, on a 27 et 66 newtons. Ensuite, dans lâautre sens, dans le sens nĂ©gatif, on a đ. Ainsi, la somme des forces agissant horizontalement est 27 plus 66 moins đ. Encore une fois, on sait que cela est Ă©gal Ă zĂ©ro. Donc, on a une Ă©quation en fonction de đ. 27 plus 66 est Ă©gal Ă 93. Donc, notre Ă©quation se simplifie comme 93 moins đ est Ă©gal Ă zĂ©ro. Cette fois, on rĂ©sout en ajoutant đ des deux cĂŽtĂ©s, et on obtient 93 est Ă©gal Ă đ. Encore une fois, nos mesures sont en newtons. Donc, đ doit ĂȘtre Ă©gal Ă 93 newtons. Et donc, les normes de đč et đ, rappelez-vous, ce nâest que la taille des forces, sont respectivement de 57 et 93 newtons.
Nous allons maintenant voir Ă quoi ressemble ce processus lorsque lâobjet est en mouvement.
Sur la figure, le corps se dĂ©place Ă une vitesse constante đŁ sous lâaction dâun systĂšme de forces. Ătant donnĂ© que les forces sont mesurĂ©es en newtons, trouvez les normes de đč et đ.
On nous dit que ce corps se dĂ©place Ă une vitesse constante sous lâaction dâun certain nombre de forces. Et donc, nous sommes en mesure de rappeler la premiĂšre loi de Newton. Cela signifie que sâil nây a pas de force rĂ©sultante, en dâautres termes, les forces agissant sur le corps sâannulent, lâobjet maintient une vitesse constante. Ainsi, pour que le corps maintienne sa vitesse constante sous lâaction du systĂšme de forces, on a besoin que la somme des forces soit Ă©gale Ă zĂ©ro. Maintenant, en fait, nos forces agissent en deux dimensions. Ainsi, nous pourrions considĂ©rer les directions horizontale et verticale sĂ©parĂ©ment ou y penser comme un vecteur tel que la somme vectorielle des forces est Ă©gale Ă zĂ©ro.
Nous allons considĂ©rer cela comme deux directions, et nous allons dâabord considĂ©rer la direction verticale. Prenons positif le sens vers le haut. Peu importe le sens que nous choisissons comme positif tant que nous sommes cohĂ©rents tout au long de la question. La seule force que lâon a dans ce sens est la force đč. Si nous regardons attentivement, nous voyons que la force qui est parallĂšle Ă đč est de 20, et quâelle agit dans le sens opposĂ©. Ainsi, la somme de ces deux forces doit ĂȘtre đč moins 20.
On a Ă©galement une force de 31 newtons agissant dans le sens nĂ©gatif. Ainsi, la somme de toutes nos forces agissant verticalement est đč moins 20 moins 31. Et bien sĂ»r, nous savons que cela doit ĂȘtre Ă©gal Ă zĂ©ro pour que lâobjet conserve une vitesse constante. Simplifions donc lâexpression. Moins 20 moins 31 devient moins 51. Ainsi, la somme de nos forces est đč moins 51. Et notre Ă©quation est đč moins 51 est Ă©gal Ă zĂ©ro. Pour rĂ©soudre cette Ă©quation, pour trouver la valeur de đč, nous allons simplement ajouter 51 aux deux cĂŽtĂ©s. Et quand nous le faisons, nous trouvons que đč est Ă©gal Ă 51. On nous a dit que les forces sont mesurĂ©es en newtons. Donc, nous pouvons dire que đč doit valoir elle-mĂȘme 51 newtons.
Nous allons maintenant rĂ©pĂ©ter ce processus dans la direction horizontale. Cette fois, se dĂ©placer vers la droite correspond au sens positif. La force donnĂ©e par la flĂšche agissant dans ce sens est đ newtons. Ensuite, dans le sens opposĂ©, on a 79 newtons. Ainsi, la somme des forces agissant sur ce corps dans la direction horizontale est đ moins 79. Encore une fois, nous pouvons dĂ©finir ceci comme Ă©tant Ă©gal Ă zĂ©ro car on nous dit que lâobjet a une vitesse constante. Ensuite, nous rĂ©solvons pour trouver đ. On ajoute 79 des deux cĂŽtĂ©s. Et quand nous le faisons, on trouver que đ est Ă©gal Ă 79 ou 79 newtons. đč est donc Ă©gal Ă 51 newtons et đ est Ă©gal Ă 79 newtons.
Alors, quâest-ce que cela signifie si une ou plusieurs des forces agissant sur lâobjet agissent avec un angle ? Eh bien, essentiellement, câest la mĂȘme chose tant que nous faisons vraiment attention Ă considĂ©rer la direction et le sens de ces forces. Essayons voir.
Un corps de masse 20 kilogrammes est tirĂ© le long dâun plan horizontal par une corde qui fait un angle đ avec le plan, oĂč tan de đ est Ă©gal Ă cinq douziĂšmes. Lorsque la tension dans la corde est de 91 newtons, le corps se dĂ©place avec une vitesse constante. Trouver la force de rĂ©sistance au mouvement đč et la rĂ©action normale đ
. Prendre đ Ă©gal Ă 9,8 mĂštres par seconde carrĂ©e.
Commençons par faire un schĂ©ma. Le corps a une masse de 20 kilogrammes, ce qui signifie quâil exerce une force descendante de 20đ sur le plan. Il est tirĂ© par une corde qui fait un angle đ avec le plan. Et puis, on nous dit que lorsque la tension est de 91 newtons, le corps se dĂ©place avec une vitesse constante. Ainsi, la force qui tire rĂ©ellement le corps est de 91 newtons.
En fait, il y a une autre force qui nous intĂ©resse, et cela sort un peu du cadre de cette vidĂ©o de mener cela trop en dĂ©tail. Mais la troisiĂšme loi de Newton sur le mouvement nous dit que pour chaque action, il y a une rĂ©action Ă©gale et opposĂ©e. Donc, il y a une force de rĂ©action normale du plan sur le corps. Câest le rĂ©sultat de la force du poids du corps sur le plan. Elle pousse le corps vers le haut et loin du plan, comme indiquĂ©. Enfin, ajoutons la rĂ©sistance au mouvement đč. Nous pouvons supposer que cela agit parallĂšlement au plan, comme indiquĂ©. Cela pourrait ĂȘtre, disons, une force de frottement du sol ou de lâair.
Maintenant, on a toutes les forces dans notre schĂ©ma. Et on nous dit que le corps se dĂ©place avec une vitesse uniforme. Ainsi, la premiĂšre loi de Newton nous dit que pour que ce soit le cas, la rĂ©sultante des forces dans les deux directions horizontale et verticale doit ĂȘtre Ă©gale Ă zĂ©ro. Donc, nous allons devoir comparer les forces dans les directions horizontale et verticale. Cela signifie cependant que nous devons ĂȘtre trĂšs prudents avec la force de tension qui agit avec un angle. Et donc, si nous ajoutons un triangle rectangle comme indiquĂ©, nous voyons quâil y a des composantes de cette force qui agissent Ă la fois dans la direction horizontale et dans la direction verticale.
Nous devons donc utiliser la trigonomĂ©trie du triangle rectangle pour trouver ces composantes. LâhypotĂ©nuse de ce triangle est de 91 newtons. Et puis, la composante qui agit dans la direction verticale est le cĂŽtĂ© opposĂ©. Et la direction horizontale est le cĂŽtĂ© adjacent. Et donc, nous allons commencer par considĂ©rer les forces qui agissent dans la direction horizontale. DĂ©finissons le cĂŽtĂ© adjacent dans notre triangle rectangle comme Ă©tant đ„ newtons. Si nous prenons alors le sens vers la droite comme positif, nous pouvons dire que la somme des forces agissant dans la direction horizontale est đ„ moins đč.
Ensuite, puisque le corps se dĂ©place avec une vitesse uniforme, on peut dire que la somme de ces forces est Ă©gale Ă zĂ©ro. Lorsque nous rĂ©solvons pour trouver đč en ajoutant đč des deux cĂŽtĂ©s, nous trouvons que đč est Ă©gal Ă đ„. Nous sommes en mesure dâĂ©valuer la valeur de đ„ en utilisant le rapport cosinus, puisque nous connaissons lâhypotĂ©nuse et nous essayons de trouver le cĂŽtĂ© adjacent. On peut dire que cos de đ vaut đ„ divisĂ© par 91. Donc, en multipliant par 91, on obtient đ„ Ă©gal 91 cos đ.
Mais nous nâavons pas encore utilisĂ© le fait que tan de đ est de cinq douziĂšmes. Et donc, puisque tan de đ est le cĂŽtĂ© opposĂ© sur le cĂŽtĂ© adjacent, nous pouvons construire un triangle plus gĂ©nĂ©ral. Dans ce triangle, la longueur du cĂŽtĂ© opposĂ© Ă đ est de cinq unitĂ©s et son cĂŽtĂ© adjacent est de 12 unitĂ©s. On a la relation de Pythagore de cinq au carrĂ© plus 12 au carrĂ© est Ă©gal Ă 13 au carrĂ©, et donc, lâhypotĂ©nuse doit ĂȘtre 13. Et donc, cos de đ pour notre angle qui est cĂŽtĂ© adjacent sur hypotĂ©nuse doit ĂȘtre de 12 sur 13. Et donc, đ„ est 91 fois 12 sur 13, et câest Ă©gal Ă 84. Puisque đč est Ă©gal Ă đ„, on peut dire que đč doit aussi ĂȘtre Ă©gal Ă 84. Et toutes nos mesures sont en newtons, donc đč vaut 84 newtons.
Nous devrons effectuer un processus similaire, mais cette fois dans la direction verticale. Et cela nous permettra de calculer la valeur de đ
. Nous allons dĂ©finir le sens positif vers le haut. Et nous allons aussi dire que la longueur du cĂŽtĂ© de notre triangle rectangle opposĂ© Ă lâangle đ est Ă©gale Ă đŠ. Cela agit Ă©galement vers le haut. Donc, vers le haut, on a đ
plus đŠ. Et puis, on a 20đ agissant dans le sens opposĂ©. Ainsi, la somme des forces est đ
plus đŠ moins 20đ. Et encore une fois, cela doit ĂȘtre Ă©gal Ă zĂ©ro. Nous allons ajouter 20đ aux deux cĂŽtĂ©s de cette Ă©quation et soustraire đŠ, et nous obtenons đ
est Ă©gal Ă 20đ moins đŠ.
Mais nous devons maintenant dĂ©terminer la valeur de đŠ. Et donc, encore une fois, nous allons utiliser la trigonomĂ©trie du triangle rectangle. Cette fois, nous utilisons le rapport du sinus puisque le sinus correspond au cĂŽtĂ© opposĂ© sur lâhypotĂ©nuse. Donc, le sinus đ est đŠ sur 91. Et donc, en rĂ©solvant pour trouver đŠ, nous obtenons đŠ Ă©gal 91 sin đ. Mais revenons Ă notre triangle plus gĂ©nĂ©ral. Nous savons que le cĂŽtĂ© opposĂ© dans ce triangle est cinq et son hypotĂ©nuse est 13. Et donc, le sin de đ doit ĂȘtre cinq treiziĂšmes et đŠ vaut 91 fois cinq treiziĂšmes. Ce qui est Ă©gal Ă 35.
Notre Ă©quation prĂ©cĂ©dente devient donc đ
Ă©gal 20đ moins 35. Mais bien sĂ»r, on nous a dit que đ est 9.8. Donc, cela devient 20 fois 9.8 moins 35, soit 161 ou 161 newtons. La force de rĂ©sistance đč est alors de 84 newtons, et la rĂ©action normale đ
est de 161 newtons.
Dans notre dernier exemple, nous verrons comment utiliser la premiĂšre loi de Newton pour calculer une vitesse.
Un soldat saute dâun avion avec un parachute. AprĂšs avoir ouvert son parachute, la force de frottement devient directement proportionnelle au cube de sa vitesse. Lorsque sa vitesse est de 19 kilomĂštres par heure, la force de frottement vaut un vingt-septiĂšme du poids total de lui et de son parachute. DĂ©terminer la vitesse maximale de sa chute.
Traçons un petit schĂ©ma. Voici le soldat qui plonge dans le ciel. La force vers le bas de son poids est ce qui le pousse dans sa chute. Ensuite, on a une force de frottement du parachute, câest đ
. Et elle agit dans le sens opposĂ©. On nous dit que la force de frottement est directement proportionnelle au cube de sa vitesse. Alors, mettons sa vitesse Ă©gale Ă đŁ, en kilomĂštres par heure. Pour que cela soit le cas, đ
doit ĂȘtre Ă©gal Ă đ fois đŁ au cube, oĂč đ est connu comme la constante de proportionnalitĂ©. Trouvons une expression pour đ en utilisant le reste des informations dans cette question.
Lorsque sa vitesse est de 19, la force de frottement est un vingt-septiĂšme du poids combinĂ© de lui et de son parachute. Ainsi, lorsque đŁ est 19, đ
est un vingt-septiĂšme fois đ€. On peut donc dire quâun vingt-septiĂšme fois đ€ est đ fois 19 au cube. Cela signifie que đ est un vingt-septiĂšme đ€ divisĂ© par 19 au cube. Ce qui Ă©quivaut Ă đ€ divisĂ© par 27 fois 19 au cube. Maintenant, nous ne calculerons pas cela et nous verrons pourquoi dans un instant. Nous pouvons donc remplacer cela dans notre Ă©quation prĂ©cĂ©dente et dire que đ
est đ€đŁ au cube sur 27 fois 19 au cube.
Maintenant, on nous dit quâĂ un moment donnĂ©, le soldat atteint une vitesse maximale. Ă ce stade, la vitesse restera inchangĂ©e. Or, pour que la vitesse reste uniforme, la premiĂšre loi de mouvement de Newton dit que la somme de toutes les forces dans cette direction doit ĂȘtre Ă©gale Ă zĂ©ro. Prenons le sens positif vers le bas. On peut dire que le poids moins la force de rĂ©action est la somme de ces forces. Donc, đ€ moins đ
est Ă©gal Ă zĂ©ro. Ensuite, en ajoutant đ
des deux cĂŽtĂ©s, nous obtenons đ€ est Ă©gal Ă đ
.
Mais remplaçons đ
par lâexpression prĂ©cĂ©dente en termes de đ€ et đŁ. Et puisque đ€ nâest pas Ă©gal Ă zĂ©ro, nous pouvons diviser les deux cĂŽtĂ©s de cette Ă©quation par đ€. Donc, un Ă©gal Ă đŁ au cube sur 27 fois 19 au cube. Nous allons ensuite multiplier les deux cĂŽtĂ©s par 27 fois 19 au cube. Et enfin, on prend la racine cubique des deux cĂŽtĂ©s. La racine cubique de 27 est trois et la racine cubique de 19 au cube est 19. Donc, on trouve que trois fois 19 est Ă©gal Ă đŁ, mais trois fois 19 est 57. Donc, đŁ est Ă©gal Ă 57 kilomĂštres par heure.
RĂ©capitulons les points clĂ©s de cette leçon. Dans cette vidĂ©o, on a vu que nous pouvons considĂ©rer les corps comme des points sans taille ni rotation. Et cela signifie que nous pouvons ignorer des facteurs externes tels que les frottements du sol ou de lâair. La premiĂšre loi de Newton stipule que sâil nây a pas de force rĂ©sultante, câest-Ă -dire si les forces agissant sur le corps sâannulent, lâobjet maintient une vitesse constante. Maintenant, bien sĂ»r, si cette vitesse est nulle, alors lâobjet doit rester au repos. Dans ce cas, on dit que le systĂšme de forces est en Ă©quilibre, leur somme est Ă©gale Ă zĂ©ro. Enfin, on a vu que lorsque nous travaillons avec des forces agissant dans une direction autre que lâhorizontale ou la verticale, nous pouvons utiliser la trigonomĂ©trie du triangle rectangle pour les dĂ©composer en composantes dont on a besoin.