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Résoudre graphiquement des équations exponentielles
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer le nombre de solutions d’une équation exponentielle donnée graphiquement, et nous verrons également comment appliquer ceci pour résoudre des équations exponentielles à l’aide de méthodes graphiques. Avant de commencer à essayer de résoudre graphiquement les équations exponentielles, commençons par rappeler ce que nous entendons par une fonction exponentielle.
On rappelle qu’une fonction exponentielle est sous la forme 𝑓 de 𝑥 égal à 𝑎 multipliée par 𝑏 à la puissance 𝑥, où 𝑏 est positif et différent de un. On note que ce ne sont pas tous les exemples de fonctions exponentielles. Par exemple, on peut multiplier la valeur de 𝑥 par une constante, ou on peut additionner une constante à cette valeur de 𝑥, et cela resterait une fonction exponentielle. Cependant, pour l’instant, nous allons nous concentrer sur ce type de fonction exponentielle. Ainsi, une équation exponentielle est une équation impliquant une fonction exponentielle. C’est-à-dire une équation sous la forme 𝑎 fois 𝑏 à la puissance 𝑥 égal à une fonction 𝑔 de 𝑥. Une solution à cette équation serait une valeur de 𝑥 qui rend les deux côtés de l’équation égaux.
Parfois, on peut résoudre des équations à l’aide d’une manipulation algébrique. Cependant, pour les équations exponentielles, cela est souvent très difficile. En effet car la variable 𝑥 apparaît dans l’exposant. Nous allons donc nous concentrer sur la recherche de ces solutions sous forme graphique. Pour voir comment on peut résoudre graphiquement une équation exponentielle, commençons par un exemple. Supposons qu’on a reçu le graphique de la fonction exponentielle 𝑦 égal à quatre puissance 𝑥, et disons qu’on nous a demandé de résoudre l’équation quatre puissance 𝑥 égal un. Cela signifie que nous devons trouver la valeur de 𝑥 à substituer dans la fonction exponentielle pour obtenir une valeur de un. On peut le faire en utilisant le graphique. Rappelez-vous que la coordonnée 𝑦 de chaque point de la courbe nous indique la valeur de que prend la fonction en cette valeur de 𝑥.
On souhaite savoir quand la fonction prend une valeur de un. Elle prend une valeur de un lorsque sa coordonnée 𝑦 est égal à un. Donc, nous traçons la droite 𝑦 égal à un sur le repère. On peut alors voir quand la courbe a une valeur 𝑦 égal à un. Elle a une valeur 𝑦 égal à un lorsque sa valeur de 𝑥 égal à zéro. En d’autres termes, on a montré qu’il existe un point d’intersection entre la droite 𝑦 égal à un et la courbe 𝑦 égal à quatre puissance 𝑥. C’est le point de coordonnées zéro, un. En cette valeur de 𝑥, la fonction quatre puissance 𝑥 et la fonction un ont la même valeur. Elles prennent la valeur de un. Par conséquent, cela doit être une solution de l’équation. 𝑥 égal à zéro est solution de l’équation quatre puissance 𝑥 égal un.
Il y a quelques autres choses que l’on peut remarquer. Par exemple, il s’agit du seul point d’intersection entre la droite et la courbe. Et chaque solution de l’équation est un point d’intersection entre la droite et la courbe. Donc, comme il n’y a qu’un seul point d’intersection entre la droite et la courbe, on peut conclure qu’il n’y a qu’une seule solution à cette équation. Il convient également de noter qu’on peut vérifier que 𝑥 égal à zéro est une solution de l’équation en substituant 𝑥 égal à zéro dans les deux côtés de l’équation et en s’assurant qu’ils sont égaux. Commençons par substituer 𝑥 égal à zéro dans le membre gauche de l’équation.
En substituant 𝑥 égal à zéro dans le côté gauche de l’équation, on obtient quatre puissance zéro. Et on peut évaluer cela en utilisant les lois des exposants. On sait que tout nombre non nul élevé à la puissance zéro est toujours égal à un. On peut alors faire la même chose avec le côté droit de l’équation. Cependant, le côté droit de cette équation n’est qu’une valeur constante de un, donc la valeur de 𝑥 n’affecte pas cette valeur. Par conséquent, lorsque 𝑥 égal à zéro, les côtés gauche et droit de l’équation sont égaux. Cela confirme que 𝑥 égal à zéro est une solution de l’équation.
On peut utiliser cette même méthode pour résoudre d’autres équations exponentielles. Par exemple, résolvons l’équation quatre puissance 𝑥 égal à cinq moins 𝑥. Encore une fois, puisqu’une solution de l’équation est une valeur de 𝑥 pour laquelle les deux côtés de l’équation sont égaux, on peut trouver les solutions de l’équation en recherchant des points d’intersection entre la courbe 𝑦 égal à quatre puissance 𝑥 et la droite 𝑦 égal à cinq moins 𝑥 parce que les points d’intersection auront le même résultat pour les deux fonctions, en d’autres termes, ils seront des solutions de l’équation.
On a déjà un graphique de 𝑦 égal à quatre puissance 𝑥. Donc, sur le même axe, il faut tracer la droite 𝑦 égal à cinq moins 𝑥. Premièrement, on sait que l’ordonnée à l’origine vaut cinq. On peut également trouver l’intersection de la droite avec l’axe des 𝑥. On substitue 𝑦 égal à zéro et résout pour trouver la valeur de 𝑥. On voit que la droite coupe l’axe des 𝑥 lorsque 𝑥 vaut cinq. On peut utiliser ceci pour tracer la droite. On sait qu’elle coupe l’axe des 𝑦 en cinq et qu’elle coupe l’axe des 𝑥 également en cinq. Alors la droite reliant ces deux points est la droite 𝑦 égal à cinq moins 𝑥.
Enfin, on peut voir qu’il existe un point d’intersection entre la courbe et la droite, et ce sera le point où les valeurs de ces deux fonctions sont égales. On peut voir que la coordonnée 𝑥 de ce point d’intersection vaut un. Donc, on a que 𝑥 égal à un est une solution de l’équation. Et en fait, comme c’est le seul point d’intersection entre la droite et la courbe, c’est la seule solution à l’équation. Cependant, nous devons être prudents. Nous traçons la droite 𝑦 égal à cinq moins 𝑥, et nous l’utilisons pour estimer le point d’intersection entre la droite et la courbe. Donc, nous ne pouvons pas être sûrs que 𝑥 égal à un est la solution exacte à l’équation puisque nous faisons une approximation en utilisant le graphique.
Pour montrer que 𝑥 égal à un est la solution de cette équation, nous allons devoir remplacer 𝑥 par un dans les deux côtés gauche et droit de l’équation et vérifier s’ils sont égaux. On peut commencer par le côté gauche de l’équation. En substituant 𝑥 égal un, on obtient quatre à la première puissance. Et en utilisant les lois des exposants, on sait que tout nombre élevé à la première puissance est égal à lui-même. Ainsi, quatre à la première puissance vaut quatre. On peut alors faire la même chose avec le côté droit de l’équation. En substituant 𝑥 égal un, on obtient cinq moins un, qui vaut quatre. Par conséquent, puisque les côtés gauche et droit de l’équation sont égaux lorsque 𝑥 égal un, on peut conclure que 𝑥 égal un est une solution de l’équation exponentielle.
Jusqu’à présent, toutes les équations avaient des solutions. Cependant, il est également possible qu’une équation n’ait pas de solution. Par exemple, on peut voir que la droite 𝑦 égal à moins deux et la courbe 𝑦 égal à quatre puissance 𝑥 n’ont pas de points d’intersection. Cela signifie que si on nous demandait de résoudre l’équation quatre puissance 𝑥 égal moins deux en utilisant le graphique donné, nous serions en mesure de conclure qu’il n’y a pas de solutions à cette équation car toute solution de cette équation serait un point d’intersection entre la courbe 𝑦 égal à quatre puissance 𝑥 et la droite 𝑦 égal à moins deux. Et au lieu de dire qu’il n’y a pas de solutions à cette équation, on peut introduire l’idée de l’ensemble des solutions.
L’ensemble des solutions d’une équation est l’ensemble de toutes les solutions à cette équation. Ainsi, au lieu de dire que l’équation quatre puissance 𝑥 égal moins deux n’a pas de solutions, on peut dire que son ensemble de solutions est l’ensemble vide. Passons maintenant à un exemple où on nous donne le graphique d’une fonction exponentielle et nous devons l’utiliser pour déterminer l’ensemble des solutions d’une équation exponentielle.
Utiliser le graphique donné de la fonction 𝑓 de 𝑥 égal à deux puissance cinq moins 𝑥 pour trouver l’ensemble des solutions de l’équation deux puissance cinq moins 𝑥 égal à deux.
Dans cette question, on nous donne le graphique d’une fonction exponentielle et cette fonction exponentielle apparaît dans l’équation exponentielle donnée. Nous devons l’utiliser pour déterminer l’ensemble des solutions de l’équation. Tout d’abord, on rappelle que l’ensemble des solutions d’une équation est l’ensemble de toutes les solutions de cette équation. Par conséquent, nous cherchons l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥 qui égalisent les deux côtés de l’équation. Une autre façon de penser à cela est que puisque deux puissance cinq moins 𝑥 égal à la fonction 𝑓 de 𝑥, on peut substituer 𝑓 de 𝑥 dans l’équation. Cela nous donne l’équation 𝑓 de 𝑥 égal à deux. Nous recherchons l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥 telles que 𝑓 de 𝑥 égal à deux.
Pour trouver ces valeurs de 𝑥, on peut rappeler que chaque point de la courbe 𝑦 égal à 𝑓 de 𝑥 aura des coordonnées de la forme 𝑥, 𝑓 de 𝑥. En d’autres termes, les coordonnées 𝑦 des points sur la courbe nous indiquent les valeurs de la fonction pour la valeur donnée de 𝑥. Nous voulons déterminer les valeurs de 𝑥 où la fonction donne deux. Ce seront les points sur la courbe avec une coordonnée 𝑦 égale à deux. Donc, on peut les trouver en traçant la droite 𝑦 égal à deux sur le même ensemble d’axes. On peut voir qu’il n’y a qu’un seul point sur la courbe de coordonnée 𝑦 égal à deux. Ce sera le point d’intersection entre la droite 𝑦 égal deux et la courbe 𝑦 égal à deux puissance cinq moins 𝑥. La coordonnée 𝑦 de ce point est deux et sa coordonnée 𝑥 est quatre. En d’autres termes, lorsque 𝑥 égal quatre, la fonction vaut deux. 𝑓 de quatre est égal à deux.
Par conséquent, 𝑥 égal quatre est une solution de l’équation. En fait, comme c’est le seul point d’intersection entre la droite et la courbe, c’est la seule solution de l’équation. Cela signifie que l’ensemble des solutions de l’équation est l’ensemble contenant uniquement quatre.
Il convient également de noter que l’on peut vérifier la réponse en substituant 𝑥 égal à quatre dans l’équation ou dans la fonction. En substituant 𝑥 égal quatre dans la fonction 𝑓 de 𝑥, on obtient 𝑓 de quatre ce qui vaut deux puissance cinq moins quatre. Cinq moins quatre égal un. Donc, cela se simplifie pour donner deux puissance un. Et tout nombre élevé à la puissance un est égal à lui-même. Ainsi, 𝑓 évalué en quatre vaut deux, ce qui est exactement la même chose que le côté droit de l’équation, confirmant que 𝑥 égal à quatre est une solution de l’équation. Par conséquent, on a pu montrer que l’ensemble des solutions de l’équation deux puissance cinq moins 𝑥 égal deux est l’ensemble contenant juste quatre.
Passons maintenant à un autre exemple où on a le graphique d’une fonction exponentielle et on doit l’utiliser pour résoudre une équation exponentielle.
Le graphique montre la courbe de 𝑓 de 𝑥 égal deux puissance deux 𝑥. Utiliser ce graphique pour trouver l’ensemble des solutions de l’équation deux puissance deux 𝑥 égal quatre.
Dans cette question, on nous donne le graphique d’une fonction exponentielle, et on nous demande de résoudre une équation exponentielle où cette fonction apparaît. Pour ce faire, commençons par rappeler que l’ensemble des solutions d’une équation est l’ensemble de toutes les solutions de cette équation. Cela signifie que nous recherchons toutes les valeurs de 𝑥 qui résolvent l’équation deux puissance deux 𝑥 égal à quatre. Pour nous aider, commençons par remplacer deux puissance deux 𝑥 dans l’équation par 𝑓 de 𝑥. Cela signifie que l’équation qu’on nous demande de résoudre peut être réécrite comme 𝑓 de 𝑥 égal à quatre.
En d’autres termes, nous recherchons simplement les valeurs de 𝑥 telles que la fonction 𝑓 génère une valeur de quatre. Et on rappelle que la coordonnée 𝑦 d’un point de la courbe nous indique la valeur de la fonction pour cette valeur de 𝑥. Ainsi, on peut trouver toutes les valeurs où la fonction donne quatre en traçant la droite 𝑦 égal quatre sur le graphique. Et on peut alors voir sur le graphique qu’il n’y a qu’un point sur la courbe avec une coordonnée 𝑦 égal à quatre. C’est le point de coordonnées un, quatre.
Et cela vaut la peine de répéter que cela nous dit que 𝑓 évalué en un vaut quatre. Et donc, un est une solution de l’équation. En fait, toutes les solutions de l’équation seront un point d’intersection entre la droite 𝑦 égal quatre et la courbe 𝑦 égal deux puissance deux 𝑥. Donc, comme on voit qu’il n’y a qu’un seul point d’intersection, on sait qu’il n’y a qu’une seule solution. Par conséquent, l’ensemble des solutions de l’équation deux puissance deux 𝑥 est l’ensemble contenant juste un.
Voyons maintenant un exemple où nous devons d’abord réorganiser l’équation exponentielle qui nous est donnée.
Le graphique montre la courbe de 𝑓 de 𝑥 égal deux puissance 𝑥 sur deux. Utiliser ce graphique pour trouver l’ensemble des solutions de l’équation deux puissance 𝑥 sur deux plus cinq égal à neuf.
Dans cette question, on nous donne le graphique d’une fonction exponentielle 𝑓 de 𝑥. Et on nous demande de l’utiliser pour déterminer l’ensemble des solutions d’une équation qui contient la fonction 𝑓 de 𝑥. Pour le faire, commençons par rappeler que l’ensemble des solutions d’une équation est l’ensemble de toutes les solutions de cette équation. Dans ce cas, ce sera l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥, telles que deux puissance 𝑥 sur deux plus cinq égal à neuf. Pour répondre à cette question, il peut être utile de réécrire l’équation exponentielle en fonction de la fonction 𝑓 de 𝑥. En substituant deux puissance 𝑥 sur deux égal 𝑓 de 𝑥 dans l’équation, on obtient 𝑓 de 𝑥 plus cinq égal à neuf. On peut simplifier davantage cette équation en soustrayant cinq des deux côtés. On obtient 𝑓 de 𝑥 égal neuf moins cinq, ce qui se simplifie pour donner 𝑓 de 𝑥 égal à quatre. Donc, on souhaite trouver les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction prend une valeur de quatre.
On rappelle que la coordonnée 𝑦 de tout point de la courbe indique la valeur de la fonction en cette valeur de 𝑥. Donc, on veut trouver tous les points de la courbe une coordonnée 𝑦 égale à quatre. Faisons cela en traçant la droite 𝑦 égal quatre sur le graphique. On peut voir qu’il n’y a qu’un seul point d’intersection entre la droite et la courbe. Et on peut voir que ce point a une coordonnée 𝑥 égale à quatre. Par conséquent, lorsque l’on prend une valeur de 𝑥 égale à quatre, la valeur que prend la fonction est quatre. 𝑓 de quatre égal à quatre. Et en fait, comme c’est le seul point d’intersection entre la droite et la courbe, c’est la seule solution de l’équation. Par conséquent, l’ensemble des solutions de cette équation est l’ensemble contenant quatre.
On peut vérifier que 𝑥 égal quatre est une solution de l’équation en substituant 𝑥 égal quatre dans le côté gauche de l’équation. En substituant 𝑥 égal quatre dans le côté gauche de l’équation, on obtient deux puissance quatre sur deux plus cinq, que l’on peut simplifier comme quatre sur deux égal à deux. Donc, cela équivaut à deux au carré plus cinq. Et ensuite on peut évaluer cela. Deux au carré égal à quatre. Donc, on obtient quatre plus cinq, qui vaut neuf, ce qui est exactement égal au côté droit de cette équation. Par conséquent, quatre est une solution de l’équation, et on sait que c’est la seule solution. Par conséquent, l’ensemble des solutions de l’équation deux puissance 𝑥 sur deux plus cinq égal à neuf est l’ensemble contenant quatre.
Voyons maintenant un exemple où l’équation exponentielle implique une fonction linéaire.
Utiliser les graphiques ci-dessous pour répondre à la question suivante. Vrai ou faux: l’équation deux puissance 𝑥 égal moins 𝑥 n’a pas de solution.
Dans cette question, on nous donne le graphique de deux fonctions. Commençons par déterminer à quelles fonctions ces courbes correspondent. Tout d’abord, on peut voir que la droite passe par l’origine, donc son ordonnée à l’origine est zéro. Ensuite, on voit lorsqu’on se déplace vers la droite d’une unité, on descend d’une unité. Donc, la pente vaut moins un. Sous la forme pente-ordonnée à l’origine, c’est la droite 𝑦 égal moins un 𝑥 plus zéro, ce qui est juste 𝑦 égal moins 𝑥. L’autre courbe a la forme d’une fonction exponentielle, et on peut voir qu’elle passe par le point de coordonnées un, deux. Si nous substituons 𝑥 égal un dans la fonction deux puissance 𝑥, on peut voir que cela génère une valeur de deux. On peut le faire avec d’autres points de la courbe pour conclure qu’il s’agit bien de la courbe 𝑦 égal deux puissance 𝑥.
Nous devons utiliser ces graphiques pour déterminer si l’équation deux puissance 𝑥 égal moins 𝑥 a une solution. On peut être tenté d’essayer de résoudre ce problème en utilisant une manipulation algébrique. Cependant, cela sera très difficile car 𝑥 apparaît dans l’exposant et en dehors de l’exposant. Au lieu de cela, rappelez-vous qu’une solution de cette équation est une valeur de 𝑥 telle que les deux côtés de l’équation sont égaux. En d’autres termes, nous devons choisir une valeur de 𝑥 dans la fonction deux puissance 𝑥, puis mettre la même valeur dans la fonction moins 𝑥 pour obtenir le même résultat. On peut le faire directement à partir du graphique. Pour que les images de ces deux fonctions soient égales au même antécédent 𝑥, elles doivent avoir un point d’intersection. En effet, la coordonnée 𝑦 nous indique les images de cette fonction pour l’antécédent donné.
Par conséquent, comme il existe un point d’intersection entre la droite et la courbe, on peut conclure que deux puissance 𝑥 égal à moins 𝑥 a une solution. En fait, on peut même approximer cette valeur en essayant de lire sa coordonnée 𝑥 sur le graphique. Ainsi, on obtient que 𝑥 est environ égal à moins 0.6. Par conséquent, on a pu montrer qu’il est faux que l’équation deux puissance 𝑥 égal moins 𝑥 n’a pas de solutions.
Dans le dernier exemple, nous allons résoudre graphiquement une équation exponentielle en traçant également une fonction linéaire sur le même graphique donné.
Le graphique suivant montre la fonction 𝑓 indice un de 𝑥 égal deux puissance moins 𝑥. Utiliser ce graphique et tracer la fonction 𝑓 indice deux de 𝑥 égal 𝑥 plus trois pour trouver l’ensemble des solutions de l’équation deux puissance moins 𝑥 égal 𝑥 plus trois.
Dans cette question, on nous donne deux fonctions 𝑓 indice un de 𝑥 et 𝑓 indice deux de 𝑥, et on nous donne un graphique de la fonction 𝑦 égal 𝑓 indice un de 𝑥. On nous demande de trouver l’ensemble des solutions d’une équation. Et puisque 𝑓 indice un de 𝑥 est égal au côté gauche de cette équation et 𝑓 indice deux de 𝑥 est égal au côté droit de cette équation, l’équation est 𝑓 indice un de 𝑥 égal 𝑓 indice deux de 𝑥. On peut résoudre cette équation graphiquement. Toute solution de cette équation est un point d’intersection entre la courbe 𝑦 égal 𝑓 indice un de 𝑥 et la droite 𝑦 égal 𝑓 indice deux de 𝑥. Puisque le point d’intersection a la même coordonnée 𝑦 et que la coordonnée 𝑦 est la valeur de la fonction pour la coordonnée 𝑥 donné, cela signifie que les valeurs de la fonction sont les mêmes, donc l’équation est résolue.
Nous devons tracer la courbe 𝑦 égal 𝑥 plus trois. Tout d’abord, notons que son ordonnée à l’origine vaut trois. On peut également trouver la valeur où la droite coupe l’axe des 𝑥 en substituant 𝑦 égal zéro. En résolvant cela, on obtient que 𝑥 égal moins trois. On peut alors tracer la droite. L’ordonnée à l’origine vaut trois, et la droite coupe l’axe des 𝑥 en moins trois. Cela nous permet alors de tracer la droite. On relie simplement les points d’intersections avec l’axe des 𝑦 et avec l’axe des 𝑥 avec une droite. Ensuite, le seul point d’intersection entre la droite et la courbe est la seule solution à l’équation. On peut lire sa coordonnée 𝑥. Sa coordonnée 𝑥 est négative.
Ensuite, puisque la question nous demande d’écrire ceci comme un ensemble de solutions, nous écrivons ceci comme un ensemble contenant moins un. Par conséquent, on a pu montrer que l’ensemble des solutions de l’équation deux puissance moins 𝑥 égal 𝑥 plus trois est l’ensemble contenant juste moins un.
Passons maintenant en revue certains des points clés de cette vidéo. Premièrement, l’ensemble des solutions d’une équation est l’ensemble de toutes les solutions de cette équation, en d’autres termes, c’est l’ensemble de toutes les valeurs qui satisfont l’équation. Et en particulier, si une équation n’a pas de solution, on peut dire que l’ensemble des solutions est l’ensemble vide. Ensuite, on a vu que l’on peut résoudre l’équation 𝑓 de 𝑥 égal à 𝑔 de 𝑥 en trouvant les coordonnées 𝑥 de tous les points d’intersection entre les courbes 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥 et 𝑦 égal 𝑔 de 𝑥.
Chaque point d’intersection est une solution de l’équation. Et s’il n’y a pas de points d’intersection, alors il n’y a pas de solution à l’équation. Enfin, on a vu que les solutions graphiques aux équations peuvent être des approximations. Cela est particulièrement vrai si nous devons dessiner nous-mêmes l’une des fonctions. Dans ce cas, nous devons utiliser les lignes du repère pour essayer de rendre l’approximation aussi précise que possible.
