Transcription de la vidéo
Un cylindre à couvercle mobile contient du gaz avec un volume de 0,022 mètres cube. Le gaz a une température initiale de 348 kelvins. La température est augmentée à 512 kelvins et le couvercle se lève pour égaliser la pression à la valeur qu’elle avait avant le chauffage. Quel volume occupe le gaz dans la bouteille après son chauffage ? Donnez votre réponse arrondie à trois décimales près.
Disons que ceci est notre cylindre contenant du gaz, et nous l’avons dessinée pour montrer que ce couvercle est mobile. Il peut glisser vers le haut ou vers le bas pour augmenter ou diminuer le volume. On nous dit que la température du gaz dans cette bouteille est augmentée par rapport à sa valeur initiale. Cela se traduit par une augmentation de la pression dans ce volume, qui soulève ensuite le couvercle mobile de sorte que la pression finale du gaz dans cette bouteille est égale à la pression qu’il avait initialement. Nous avons vu que cela se produit avec une expansion du volume du gaz, et c’est ce volume final que nous voulons déterminer.
Si nous traitons le gaz de ce cylindre comme un gaz parfait, nous pouvons le décrire en utilisant ce qu’on appelle la loi des gaz parfaits. Dans cette loi, 𝑃 est la pression ; 𝑉 est le volume ; 𝑛 est le nombre de moles d’un gaz, c’est-à-dire sa quantité de matière ; 𝑅 est une valeur constante appelée constante des gaz parfaits ; et 𝑇 est la température du gaz. Il est assez fréquent que les grandeurs pression, volume et température varient dans un scénario donné. Il est moins fréquent que la quantité de matière du gaz, c’est-à-dire le nombre de moles, soit modifiée. Et 𝑅 comme nous le voyons ne peut pas varier parce que c’est une constante. Dans notre situation, la quantité de matière du gaz, le nombre de moles, est une constante. Autrement dit, le nombre de particules de ce gaz est le même, même si le gaz se dilate lorsqu’il est chauffé.
Si nous divisons les deux côtés de la loi des gaz parfaits par la température 𝑇, alors ce facteur s’annule à droite. Ce que nous avons alors est une équation où à gauche il y a un ensemble de facteurs qui sont assez susceptibles de varier qui se retrouvent égal à un ensemble de facteurs qui ne varient pas. Et en effet, nous avons vu que, dans notre scénario, 𝑛 fois 𝑅 est une valeur constante. Cela a une implication importante pour nous. Cela signifie que si nous avons une pression initiale de notre gaz, nous l’appellerons 𝑃 un ; un volume de gaz initial, nous l’appellerons 𝑉 un ; et une température initiale du gaz, 𝑇 un, alors 𝑃 un fois 𝑉 un divisé par 𝑇 un serait égal à une pression de gaz finale, nous l’appellerons 𝑃 deux, un volume de gaz final, nous l’appellerons 𝑉 deux, divisé par une température finale du gaz, 𝑇 deux.
Parce que 𝑃 fois 𝑉 divisé par 𝑇 est égal à une constante, nous pouvons dire que la pression de notre gaz fois son volume divisé par sa température à tout instant est égale à sa pression fois son volume divisé par sa température à tout autre instant. Dans l’énoncé de notre problème, on nous donne certaines de ce que nous pourrions appeler les conditions initiales et finales de la pression, du volume et de la température de notre gaz. Par exemple, dans un premier temps, le volume de gaz est de 0,022 mètres cube. Nous pouvons noter cette quantité 𝑉 un. De même, le gaz a initialement une température de 348 kelvins. Nous appellerons cela 𝑇 un. Ensuite, la température du gaz est augmentée à 512 kelvins, et nous appellerons cela 𝑇 deux. Nous voulons déterminer le volume de gaz après qu’il a été chauffé, que nous appellerons 𝑉 deux.
Dans cette équation, nous voyons que 𝑉 deux est présent, mais n’est pas encore isolé. Nous pouvons faire de 𝑉 deux le sujet de cette équation en multipliant les deux côtés par 𝑇 deux divisé par 𝑃 deux. De cette façon, sur le côté droit, 𝑃 deux est annulé tout comme 𝑇 deux. Cela nous donne une équation où 𝑉 deux est le sujet. C’est égal à 𝑉 un fois le rapport des pressions, 𝑃 un sur 𝑃 deux, fois le rapport des températures, 𝑇 deux sur 𝑇 un.
En revenant aux informations qui nous ont été données, nous voyons qu’on nous a donné les deux températures ainsi que le volume initial 𝑉 un, mais on ne nous dit rien sur les valeurs spécifiques de 𝑃 un et 𝑃 deux. Cependant, on nous dit que le couvercle de notre cylindre a suffisamment augmenté pour que la pression dans le cylindre à la fin soit la même que celle du début. Autrement dit, les pressions ont été égalisées de sorte que 𝑃 un est égal à 𝑃 deux. Donc, quelle que soit la valeur particulière de ces pressions, elles sont les mêmes, et donc leur rapport est égal à un. Notre équation pour 𝑉 deux se simplifie alors en 𝑉 un fois 𝑇 deux divisé par 𝑇 un.
Pour effectuer ce calcul final, libérons de l’espace en haut de notre écran, puis insérons nos valeurs de 𝑉 un, 𝑇 deux et 𝑇 un. Notez que nos deux températures sont exprimées en kelvin. Par conséquent, ces unités s’annuleront, et il nous restera des unités finales de mètres au cube. En arrondissant ce résultat à trois décimales, nous obtenons 0,032 mètres cubes. Il s’agit du volume final de notre gaz après son expansion pour égaliser les pressions. Et notez que ce volume est en effet supérieur à 𝑉 un.
